Номер 442, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

442. Прямая, пересекающая окружность, делит ее на две дуги, длины которых относятся как $1 : 3$. В каком отношении эта прямая делит площадь круга?

Дано:

Окружность, прямая пересекает окружность.

Длины двух дуг, на которые прямая делит окружность, относятся как $1:3$.

Найти:

В каком отношении эта прямая делит площадь круга.

Решение:

Пусть $L_1$ и $L_2$ — длины двух дуг, на которые прямая делит окружность. Дано, что $L_1 : L_2 = 1 : 3$.

Суммарная длина окружности $L = L_1 + L_2$. Мы можем представить длины дуг как $L_1 = k$ и $L_2 = 3k$ для некоторого коэффициента $k$. Тогда полная длина окружности $L = 4k$.

Длины дуг пропорциональны соответствующим центральным углам. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ — центральные углы, стягивающие эти дуги. Тогда $\alpha_1 : \alpha_2 = 1 : 3$.

Сумма центральных углов, соответствующих полной окружности, составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан. Таким образом, $\alpha_1 + \alpha_2 = 2\pi$.

Пусть $\alpha_1 = x$ и $\alpha_2 = 3x$.

Тогда $x + 3x = 2\pi \Rightarrow 4x = 2\pi \Rightarrow x = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Следовательно, центральные углы равны:

$\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$ радиан ($90^\circ$).

$\alpha_2 = 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ радиан ($270^\circ$).

Прямая (хорда) делит круг на два сегмента. Площадь кругового сегмента с центральным углом $\alpha$ (в радианах) и радиусом $R$ вычисляется по формуле: $S_{сегмента} = \frac{1}{2}R^2(\alpha - \sin \alpha)$.

Пусть $S_1$ — площадь меньшего сегмента, соответствующего углу $\alpha_1 = \frac{\pi}{2}$.

$S_1 = \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2})$

Так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, получаем:

$S_1 = \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

Пусть $S_2$ — площадь большего сегмента. Общая площадь круга $S_{круга} = \pi R^2$.

Тогда $S_2 = S_{круга} - S_1 = \pi R^2 - \frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)$

Вынесем $R^2$ за скобки:

$S_2 = R^2(\pi - \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} - 1))$

$S_2 = R^2(\pi - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})$

Приведем члены с $\pi$ к общему знаменателю:

$S_2 = R^2(\frac{4\pi - \pi}{4} + \frac{1}{2})$

$S_2 = R^2(\frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2})$

Для удобства дальнейших вычислений умножим содержимое скобок на 2 и поделим на 2:

$S_2 = \frac{1}{2}R^2(\frac{3\pi}{2} + 1)$

Теперь найдем отношение площадей $S_1 : S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2}R^2(\frac{\pi}{2} - 1)}{\frac{1}{2}R^2(\frac{3\pi}{2} + 1)}$

Сократим $\frac{1}{2}R^2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{\pi}{2} - 1}{\frac{3\pi}{2} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{(\frac{\pi}{2} - 1) \cdot 2}{(\frac{3\pi}{2} + 1) \cdot 2}$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$

Это и есть искомое отношение.

Ответ:

Прямая делит площадь круга в отношении $\frac{\pi - 2}{3\pi + 2}$.