Номер 439, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

439. В окружность вписан треугольник, одна сторона которого равна $2\sqrt{3}$ см. Найдите:

а) радиус этой окружности, если угол, лежащий против данной стороны, равен $120^{\circ}$;

б) угол, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние, равное 1 см.

Дано:

Треугольник вписан в окружность.

Длина одной стороны треугольника $a = 2\sqrt{3}$ см.

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3} \text{ см} = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Расстояние от центра окружности до стороны $h = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

а) радиус окружности $R$, если угол, лежащий против данной стороны, $\alpha = 120^\circ$.

б) угол $\alpha$, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние $h = 1$ см.

Решение:

а) радиус этой окружности, если угол, лежащий против данной стороны, равен 120°

Для треугольника, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной $a$ и противолежащим углом $\alpha$ по теореме синусов: $ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $.

Из этой формулы выразим радиус $ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $.

Нам даны: $a = 2\sqrt{3}$ см и $\alpha = 120^\circ$.

Найдем значение $\sin 120^\circ$: $ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Подставим значения в формулу для $R$:

$ R = \frac{2\sqrt{3} \text{ см}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{3} \text{ см}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см} $.

Ответ: $2 \text{ см}$

б) угол, лежащий против данной стороны, если она удалена от центра окружности на расстояние, равное 1 см.

Пусть сторона треугольника, о которой идет речь, является хордой окружности. Расстояние от центра окружности до хорды ($h$) представляет собой перпендикуляр, опущенный из центра на эту хорду. Этот перпендикуляр делит хорду пополам.

Таким образом, образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является радиус окружности $R$, а катетами — половина длины стороны ($a/2$) и расстояние от центра до стороны ($h$).

Из условия задачи нам известны: длина стороны $a = 2\sqrt{3}$ см, следовательно, $a/2 = \sqrt{3}$ см. Расстояние от центра до стороны $h = 1$ см.

Используем теорему Пифагора для нахождения радиуса $R$: $ R^2 = h^2 + (a/2)^2 $.

$ R^2 = (1 \text{ см})^2 + (\sqrt{3} \text{ см})^2 = 1 + 3 = 4 $.

$ R = \sqrt{4} = 2 \text{ см} $.

Заметим, что радиус окружности оказался таким же, как и в пункте а), что говорит о том, что речь идет об одной и той же окружности или об окружностях с одинаковым радиусом.

Теперь найдем угол $\alpha$, лежащий против данной стороны. Вписанный угол $\alpha$ равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол равен $2\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $R$, расстоянием $h$ и половиной стороны $a/2$. Угол, противолежащий катету $a/2$ или прилежащий к катету $h$, равен половине центрального угла, т.е. $\alpha$.

Используем соотношение в прямоугольном треугольнике: $ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{R} $.

Подставим известные значения $h = 1$ см и $R = 2$ см:

$ \cos \alpha = \frac{1 \text{ см}}{2 \text{ см}} = \frac{1}{2} $.

Известно, что $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $.

Следовательно, $ \alpha = 60^\circ $.

Ответ: $60^\circ$