Номер 436, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

436. Точка $C$ делит хорду $AB$ окружности на отрезки длиной 12 см и 14 см. Найдите радиус этой окружности, если расстояние от ее центра до точки $C$ равно 11 см.

Дано:

$AC = 12 \text{ см}$

$CB = 14 \text{ см}$

$OC = 11 \text{ см}$ (расстояние от центра окружности $O$ до точки $C$)

Перевод в СИ:

$AC = 0.12 \text{ м}$

$CB = 0.14 \text{ м}$

$OC = 0.11 \text{ м}$

Найти:

$R$ - радиус окружности

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о произведении отрезков хорд. Если две хорды окружности пересекаются в точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорда $AB$ пересекается с некоторой другой хордой $PQ$ в точке $C$. В качестве хорды $PQ$ выберем диаметр, проходящий через точку $C$ и центр окружности $O$.

Тогда, согласно теореме о произведении отрезков хорд, имеем:

$AC \cdot CB = PC \cdot CQ$

Мы знаем, что $AC = 12$ см и $CB = 14$ см. Следовательно, произведение отрезков хорды $AB$ равно:

$AC \cdot CB = 12 \text{ см} \cdot 14 \text{ см} = 168 \text{ см}^2$

Теперь рассмотрим диаметр $PQ$, проходящий через центр $O$ и точку $C$. Пусть $R$ - радиус окружности.

Длина отрезка $PO$ равна радиусу $R$, и длина отрезка $QO$ также равна радиусу $R$.

Точка $C$ находится на расстоянии $OC = 11$ см от центра $O$.

Тогда отрезки диаметра $PQ$, на которые он делится точкой $C$, будут равны:

$PC = PO + OC = R + 11 \text{ см}$ (если $P$ находится дальше от $C$ по одну сторону от $O$)

$CQ = QO - OC = R - 11 \text{ см}$ (если $Q$ находится ближе к $C$ по другую сторону от $O$)

Примечание: Если бы $C$ находилась между $P$ и $O$, то $PC = R - 11$, а $CQ = R + 11$. В любом случае произведение будет одинаковым.

Произведение отрезков диаметра $PQ$ равно:

$PC \cdot CQ = (R + 11)(R - 11)$

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, получаем:

$PC \cdot CQ = R^2 - 11^2$

$PC \cdot CQ = R^2 - 121$

Приравниваем произведения отрезков хорд:

$168 = R^2 - 121$

Теперь решим уравнение относительно $R^2$:

$R^2 = 168 + 121$

$R^2 = 289$

Находим радиус $R$, извлекая квадратный корень:

$R = \sqrt{289}$

$R = 17 \text{ см}$

Ответ: $17 \text{ см}$