Номер 430, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

430. Дан треугольник $ABC$. На стороне $BC$ отмечена точка $D$ так, что $\angle BAD = \angle ACB$, $BD = 4$ см, $BC = 9$ см. Найдите $AB$ и отношение площадей треугольников $ABD$ и $ABC$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $D$ отмечена на стороне $BC$.

$\angle BAD = \angle ACB$.

$BD = 4$ см.

$BC = 9$ см.

Перевод в СИ:

$BD = 0.04$ м

$BC = 0.09$ м

Найти:

$AB$

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}$

Решение:

AB

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\angle ABD = \angle CBA$).

2. По условию задачи, $\angle BAD = \angle ACB$.

На основании этих двух условий (по двум углам), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBA$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам):

$\triangle ABD \sim \triangle CBA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Составим отношение сторон, лежащих напротив равных углов, и сторон, лежащих напротив общих углов:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA} = \frac{AD}{CA}$.

Для нахождения $AB$ используем первое равенство из пропорции:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}$.

Подставим известные значения $CB = BC = 9$ см и $BD = 4$ см:

$\frac{AB}{9} = \frac{4}{AB}$.

Выполним перекрестное умножение:

$AB \cdot AB = 9 \cdot 4$.

$AB^2 = 36$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (длина стороны не может быть отрицательной):

$AB = \sqrt{36}$.

$AB = 6$ см.

Ответ: $AB = 6$ см.

отношение площадей треугольников ABD и ABC

Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BC$. Обозначим эту высоту как $h_A$.

Площадь треугольника определяется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для треугольника $\triangle ABD$ основанием является отрезок $BD$, а высотой - $h_A$:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$.

Для треугольника $\triangle ABC$ основанием является отрезок $BC$, а высотой - $h_A$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$.

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A}$.

Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $h_A$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{BD}{BC}$.

Подставим известные значения $BD = 4$ см и $BC = 9$ см:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$.