Номер 432, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

432. Сформулируйте и обоснуйте признак подобия:

а) двух ромбов;

б) двух параллелограммов.

а) двух ромбов

Признак подобия двух ромбов: два ромба подобны тогда и только тогда, когда у них равны соответствующие углы.

Обоснование: по определению, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. В ромбе все четыре стороны равны. Пусть стороны первого ромба равны $a_1$, а стороны второго ромба равны $a_2$. Тогда отношение любых двух соответствующих сторон будет $a_1/a_2$, что является постоянной величиной для всех пар соответствующих сторон. Следовательно, условие пропорциональности сторон для ромбов выполняется автоматически при любом их размере. Таким образом, единственным условием подобия ромбов является равенство их соответствующих углов. Поскольку сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$ (например, $\alpha + \beta = 180^\circ$), то достаточно равенства одной пары соответствующих углов (например, острых углов) для того, чтобы все углы ромбов были равны.

Ответ:

б) двух параллелограммов

Признак подобия двух параллелограммов: два параллелограмма подобны тогда и только тогда, когда их соответствующие углы равны и отношение длин их смежных сторон одинаково.

Обоснование: по определению, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Для параллелограммов это означает выполнение двух условий:
1. Равенство соответствующих углов: в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, достаточно равенства одной пары соответствующих углов (например, острых углов) одного параллелограмма соответствующим углам другого, чтобы все углы этих параллелограммов были равны. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - соответствующие углы параллелограммов. Если $\alpha_1 = \alpha_2$, то и все остальные углы будут равны.
2. Пропорциональность соответствующих сторон: пусть $a_1, b_1$ - длины смежных сторон первого параллелограмма, а $a_2, b_2$ - длины смежных сторон второго параллелограмма. Для подобия необходимо, чтобы отношение соответствующих сторон было постоянным: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = k$. Это условие также можно сформулировать как равенство отношений смежных сторон: $a_1/b_1 = a_2/b_2$.
Оба эти условия являются необходимыми и достаточными для подобия параллелограммов. Например, два параллелограмма могут иметь равные углы, но не быть подобными, если отношение их смежных сторон различно (например, квадрат и прямоугольник, не являющийся квадратом). И наоборот, они могут иметь одинаковое отношение смежных сторон, но не быть подобными, если их углы не равны.

Ответ: