Номер 444, страница 179 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

444. Какой угол образуют векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, если известно, что векторы $\vec{d} + 3\vec{c}$ и $2\vec{d} + 0,4\vec{c}$ перпендикулярны?

Дано:

Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, то есть $|\vec{c}| = 1$ и $|\vec{d}| = 1$.

Векторы $\vec{u} = \vec{d} + 3\vec{c}$ и $\vec{v} = 2\vec{d} + 0.4\vec{c}$ перпендикулярны.

Найти:

Угол $\theta$ между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Решение:

Так как векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

$(\vec{d} + 3\vec{c}) \cdot (2\vec{d} + 0.4\vec{c}) = 0$

Раскроем скалярное произведение, используя свойства дистрибутивности и коммутативности, а также то, что $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$2(\vec{d} \cdot \vec{d}) + 0.4(\vec{d} \cdot \vec{c}) + 6(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2(\vec{c} \cdot \vec{c}) = 0$

$2|\vec{d}|^2 + 0.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 6(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2|\vec{c}|^2 = 0$

Приведем подобные члены:

$2|\vec{d}|^2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2|\vec{c}|^2 = 0$

По условию, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ единичной длины, поэтому $|\vec{c}| = 1$ и $|\vec{d}| = 1$. Подставим эти значения:

$2(1)^2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2(1)^2 = 0$

$2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) + 1.2 = 0$

$3.2 + 6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$

Выразим скалярное произведение $\vec{c} \cdot \vec{d}$:

$6.4(\vec{c} \cdot \vec{d}) = -3.2$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = -\frac{3.2}{6.4}$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = -\frac{1}{2}$

С другой стороны, скалярное произведение двух векторов определяется как $\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}| |\vec{d}| \cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

Подставим известные значения:

$1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

Чтобы найти угол $\theta$, вычислим арккосинус от $-\frac{1}{2}$:

$\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$

Угол, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$, составляет $120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан.

Ответ:

Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ образуют угол $120^\circ$.