Номер 448, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

448. Стороны разностороннего треугольника равны $8$, $15$, $x$, где $x$ – наибольшая сторона. При каких значениях $x$ этот треугольник является:

а) прямоугольным;

б) тупоугольным;

в) остроугольным?

Дано:

Стороны треугольника: $a=8$, $b=15$, $c=x$.

$x$ — наибольшая сторона.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

При каких значениях $x$ треугольник является:

а) прямоугольным;

б) тупоугольным;

в) остроугольным.

Решение:

Прежде всего, определим условия существования треугольника и условие, что $x$ является наибольшей стороной.

По неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Учитывая, что $x$ — наибольшая сторона, должны выполняться условия:

$8 + 15 > x \Rightarrow 23 > x$

Так как $x$ — наибольшая сторона, она должна быть больше каждой из двух других сторон:

$x > 15$ и $x > 8$. Следовательно, $x > 15$.

Объединяя эти условия, получаем диапазон значений для $x$, при которых существует треугольник, и $x$ является его наибольшей стороной: $15 < x < 23$.

Теперь определим тип треугольника, используя обобщенную теорему Пифагора, где $c$ — наибольшая сторона:

$a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

а) прямоугольным

Треугольник является прямоугольным, если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон:

$x^2 = 8^2 + 15^2$

$x^2 = 289$

$x = \sqrt{289}$

$x = 17$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию существования треугольника ($15 < x < 23$): $15 < 17 < 23$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 17$

б) тупоугольным

Треугольник является тупоугольным, если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон:

$x^2 > 8^2 + 15^2$

$x^2 > 289$

$x > \sqrt{289}$

$x > 17$

Учитывая условие существования треугольника ($15 < x < 23$) и то, что $x$ — наибольшая сторона ($x > 15$), получаем:

$17 < x < 23$

Ответ: $17 < x < 23$

в) остроугольным

Треугольник является остроугольным, если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон:

$x^2 < 8^2 + 15^2$

$x^2 < 289$

$x < \sqrt{289}$

$x < 17$

Учитывая условие существования треугольника ($15 < x < 23$) и то, что $x$ — наибольшая сторона ($x > 15$), получаем:

$15 < x < 17$

Ответ: $15 < x < 17$