Номер 452, страница 181 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

452.

a) Разделите отрезок на две неравные части так, чтобы большая часть являлась средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью (задача Евклида, вошедшая в историю под названием задачи «о золотом сечении»).

б) Из полукруга вырезаны два других полукруга, как показано на рисунке 211. Докажите, что площадь оставшейся части равна площади круга с диаметром CH (задача Архимеда).

а) Разделите отрезок на две неравные части так, чтобы большая часть являлась средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью

Данная задача описывает деление отрезка в пропорции золотого сечения (золотая пропорция, золотое среднее). Пусть длина всего отрезка будет $L$. Разделим его на две части: большую часть $x$ и меньшую часть $y$. Таким образом, $L = x + y$.

Условие задачи гласит, что большая часть ($x$) является средним пропорциональным между всем отрезком ($L$) и его меньшей частью ($y$). Это математически записывается как:

$x^2 = L \cdot y$

Подставим $L = x + y$ в уравнение:

$x^2 = (x + y)y$

$x^2 = xy + y^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - xy - y^2 = 0$

Разделим это уравнение на $y^2$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \left(\frac{x}{y}\right) - 1 = 0$

Обозначим отношение $\frac{x}{y}$ как $\phi$ (фи). Это отношение и есть золотое сечение:

$\phi^2 - \phi - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\phi$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $az^2+bz+c=0$: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=-1$.

$\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $\phi$ является отношением длин и должно быть положительным, мы выбираем положительный корень:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$

Это значение золотого сечения. Таким образом, большая часть отрезка относится к меньшей части как $\phi$. Большая часть также относится ко всему отрезку как $1/\phi = \phi - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Геометрическое построение:

Для того чтобы разделить отрезок $AB$ в пропорции золотого сечения, можно выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте данный отрезок $AB$.

2. В точке $B$ постройте перпендикуляр к отрезку $AB$. Отложите на этом перпендикуляре точку $C$ так, чтобы длина отрезка $BC$ была равна половине длины отрезка $AB$ (т.е. $BC = \frac{1}{2}AB$).

3. Соедините точки $A$ и $C$, образовав прямоугольный треугольник $ABC$.

4. С центром в точке $C$ и радиусом $CB$ проведите дугу, которая пересечет гипотенузу $AC$ в точке $D$.

5. С центром в точке $A$ и радиусом $AD$ проведите дугу, которая пересечет исходный отрезок $AB$ в точке $E$.

Точка $E$ делит отрезок $AB$ на две части: $AE$ и $EB$. Отрезок $AE$ будет большей частью, а $EB$ – меньшей. Пропорция $AE / EB$ будет равна золотому сечению $\phi$.

Доказательство построения:

Пусть $AB = L$. Тогда $BC = L/2$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{L^2 + (L/2)^2} = \sqrt{L^2 + L^2/4} = \sqrt{5L^2/4} = \frac{L\sqrt{5}}{2}$

Поскольку $D$ лежит на $AC$ и $CD = CB = L/2$, то:

$AD = AC - CD = \frac{L\sqrt{5}}{2} - \frac{L}{2} = \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$

По построению $AE = AD$. Следовательно, большая часть $AE = \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$.

Меньшая часть $EB = AB - AE = L - \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2} = \frac{2L - L\sqrt{5} + L}{2} = \frac{L(3-\sqrt{5})}{2}$.

Проверим условие золотого сечения: большая часть $AE$ должна быть средним пропорциональным между всем отрезком $AB$ и меньшей частью $EB$. То есть, $AE^2 = AB \cdot EB$.

$AE^2 = \left(\frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}\right)^2 = \frac{L^2(5 - 2\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{L^2(6 - 2\sqrt{5})}{4} = \frac{L^2(3 - \sqrt{5})}{2}$

$AB \cdot EB = L \cdot \frac{L(3-\sqrt{5})}{2} = \frac{L^2(3-\sqrt{5})}{2}$

Так как $AE^2 = AB \cdot EB$, построение является верным.

Ответ: Отрезок можно разделить с помощью геометрического построения, при котором большая часть $AE$ будет равна $\frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$, где $L$ - длина всего отрезка. Это соответствует делению отрезка в пропорции золотого сечения.

б) Из полукруга вырезаны два других полукруга, как показано на рисунке 211. Докажите, что площадь оставшейся части равна площади круга с диаметром CH (задача Архимеда).

Дано:
Большой полукруг с диаметром $AB$.
Два меньших полукруга с диаметрами $AH$ и $HB$, вырезанные из большого.
$CH$ — отрезок, перпендикулярный $AB$ в точке $H$, где $C$ лежит на дуге большого полукруга.

Найти:
Доказать, что площадь оставшейся заштрихованной части (арбелоса) равна площади круга с диаметром $CH$.

Решение:

Обозначим радиусы полукругов:

Радиус большого полукруга с диаметром $AB$: $R_1$. Тогда $AB = 2R_1$.

Радиус первого меньшего полукруга с диаметром $AH$: $R_2$. Тогда $AH = 2R_2$.

Радиус второго меньшего полукруга с диаметром $HB$: $R_3$. Тогда $HB = 2R_3$.

Из рисунка видно, что диаметр большого полукруга равен сумме диаметров двух меньших полукругов:

$AB = AH + HB$

$2R_1 = 2R_2 + 2R_3$

Отсюда следует связь между радиусами:

$R_1 = R_2 + R_3$

Площадь большого полукруга: $S_{большой} = \frac{1}{2}\pi R_1^2$.

Площадь первого меньшего полукруга: $S_{меньший1} = \frac{1}{2}\pi R_2^2$.

Площадь второго меньшего полукруга: $S_{меньший2} = \frac{1}{2}\pi R_3^2$.

Площадь оставшейся части (арбелоса) $S_{арбелос}$ вычисляется как разность площади большого полукруга и площадей двух вырезанных полукругов:

$S_{арбелос} = S_{большой} - S_{меньший1} - S_{меньший2}$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi R_1^2 - \frac{1}{2}\pi R_2^2 - \frac{1}{2}\pi R_3^2$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (R_1^2 - R_2^2 - R_3^2)$

Теперь подставим $R_1 = R_2 + R_3$ в это выражение:

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi ((R_2 + R_3)^2 - R_2^2 - R_3^2)$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (R_2^2 + 2R_2R_3 + R_3^2 - R_2^2 - R_3^2)$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (2R_2R_3)$

$S_{арбелос} = \pi R_2R_3$

Теперь рассмотрим отрезок $CH$. Точка $C$ лежит на большом полукруге, и $CH$ перпендикулярен диаметру $AB$. Это означает, что треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (по свойству угла, опирающегося на диаметр). В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

Следовательно, по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим $AH = 2R_2$ и $HB = 2R_3$:

$CH^2 = (2R_2)(2R_3)$

$CH^2 = 4R_2R_3$

Выразим произведение $R_2R_3$ через $CH^2$:

$R_2R_3 = \frac{CH^2}{4}$

Теперь подставим это в выражение для $S_{арбелос}$:

$S_{арбелос} = \pi \left(\frac{CH^2}{4}\right)$

Наконец, вычислим площадь круга с диаметром $CH$. Радиус этого круга будет $r_{CH} = \frac{CH}{2}$.

Площадь круга $S_{круг, CH} = \pi r_{CH}^2 = \pi \left(\frac{CH}{2}\right)^2 = \pi \frac{CH^2}{4}$.

Сравнивая выражения для $S_{арбелос}$ и $S_{круг, CH}$, видим, что они равны:

$S_{арбелос} = S_{круг, CH}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь оставшейся части (арбелоса) равна $\pi R_2R_3$, а площадь круга с диаметром $CH$ равна $\pi \frac{CH^2}{4}$. Поскольку $CH^2 = 4R_2R_3$, эти площади равны, что доказывает утверждение.