Номер 6, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

6. Из вершины $A$ острого угла параллелограмма $ABCD$ проведены перпендикуляры $AF$ и $AN$ к прямым $BC$ и $CD$. Найдите углы параллелограмма, если угол $\angle FAN$ равен $130^\circ$.

($50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$)

Дано:

$ABCD$ — параллелограмм.
$AF \perp BC$ ($F$ лежит на прямой $BC$).
$AN \perp CD$ ($N$ лежит на прямой $CD$).
$\angle FAN = 130^\circ$.

Найти:

Углы параллелограмма $ABCD$: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник $AFCN$. Вершины этого четырехугольника — $A, F, C, N$.

По условию, $AF \perp BC$. Так как $F$ лежит на прямой $BC$, то угол $\angle AFC$ является прямым. Следовательно, $\angle AFC = 90^\circ$.

Аналогично, по условию, $AN \perp CD$. Так как $N$ лежит на прямой $CD$, то угол $\angle ANC$ является прямым. Следовательно, $\angle ANC = 90^\circ$.

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $AFCN$ это означает: $\angle FAN + \angle ANC + \angle NCF + \angle CFA = 360^\circ$

Подставим известные значения углов: $130^\circ + 90^\circ + \angle NCF + 90^\circ = 360^\circ$

Сложим известные углы: $310^\circ + \angle NCF = 360^\circ$

Найдем угол $\angle NCF$: $\angle NCF = 360^\circ - 310^\circ$

$\angle NCF = 50^\circ$

Угол $\angle NCF$ является углом $\angle C$ параллелограмма $ABCD$. Таким образом, один из углов параллелограмма равен $\angle C = 50^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, угол $\angle A$ равен углу $\angle C$: $\angle A = \angle C = 50^\circ$

Также в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. То есть, $\angle B + \angle C = 180^\circ$. $\angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

Противоположный углу $\angle B$ является угол $\angle D$. Следовательно: $\angle D = \angle B = 130^\circ$

Итак, углы параллелограмма $ABCD$ равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$. Проверим сумму всех углов: $50^\circ + 130^\circ + 50^\circ + 130^\circ = 360^\circ$, что верно для любого четырехугольника.

Ответ: Углы параллелограмма равны $50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ$.