Номер 11, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

11. От участка земли, имеющего форму трапеции, нужно отделить треугольный участок так, чтобы его площадь была равна площади оставшейся части. Как это сделать? (Основание треугольника взять равным полусумме оснований, а высоту, равной высоте трапеции)

Дано:

Трапеция с параллельными основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$.

Требуется отделить треугольный участок, площадь которого равна площади оставшейся части. Указано, что основание треугольника должно быть равно полусумме оснований трапеции ($b_{треугольника} = \frac{a+b}{2}$), а высота — высоте трапеции ($h_{треугольника} = h$).

Перевод в СИ:

Все величины являются геометрическими размерами и уже представлены в общих единицах длины (например, метры), поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Способ отделения треугольного участка от трапеции, удовлетворяющего заданным условиям.

Решение:

Сначала убедимся, что указанные характеристики треугольника действительно приводят к тому, что его площадь равна половине площади трапеции.

Площадь трапеции $S_{трапеции}$ с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S_{трапеции} = \frac{a+b}{2}h$

Согласно условию задачи, площадь отделяемого треугольника $S_{треугольника}$ должна быть равна площади оставшейся части $S_{остатка}$. Это означает, что $S_{треугольника} = S_{остатка}$.

Так как общая площадь трапеции $S_{трапеции} = S_{треугольника} + S_{остатка}$, то мы можем записать:

$S_{трапеции} = S_{треугольника} + S_{треугольника} = 2 S_{треугольника}$

Следовательно, площадь отделяемого треугольника должна составлять половину площади трапеции:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} S_{трапеции} = \frac{1}{2} \left(\frac{a+b}{2}\right)h = \frac{(a+b)h}{4}$

В условии задачи даны конкретные характеристики для отделяемого треугольника:

Основание треугольника $b_{треугольника} = \frac{a+b}{2}$

Высота треугольника $h_{треугольника} = h$

Вычислим площадь треугольника с такими характеристиками:

$S'_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b_{треугольника} \cdot h_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot h = \frac{(a+b)h}{4}$

Как видим, $S_{треугольника} = S'_{треугольника}$. Это подтверждает, что указанные размеры треугольника позволяют отделить участок, составляющий ровно половину площади трапеции.

Теперь опишем способ, как это сделать:

Предположим, у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD — параллельные основания. Пусть длина основания AB равна $a$, а длина основания CD равна $b$. Высота трапеции — $h$ (перпендикулярное расстояние между AB и CD).

Для того чтобы отделить треугольный участок с требуемыми свойствами, выполните следующие действия:

1. Найдите длину полусуммы оснований трапеции: $m = \frac{a+b}{2}$.

2. Выберите одну из вершин трапеции, лежащую на одном из параллельных оснований, например, вершину D (лежащую на основании CD).

3. На противоположном параллельном основании (AB) отложите отрезок длиной $m$ от одной из его вершин (например, от вершины A). Обозначьте конечную точку этого отрезка как X. Таким образом, длина отрезка AX будет равна $m = \frac{a+b}{2}$.

4. Соедините выбранную вершину D с точкой X. Полученный треугольник $\triangle ADX$ и будет искомым. Его основание AX лежит на одном основании трапеции, а вершина D — на другом, поэтому его высота (перпендикуляр, опущенный из D на прямую AB) равна высоте трапеции $h$.

Площадь образованного треугольника $\triangle ADX$ будет составлять ровно половину площади трапеции, а оставшаяся часть (четырехугольник DBCX) будет иметь такую же площадь.

Ответ:

Чтобы отделить треугольный участок, площадь которого равна площади оставшейся части, следует найти полусумму оснований трапеции. Затем, выбрав одну вершину на одном из параллельных оснований трапеции (например, D), отложить на противоположном основании (AB) отрезок длиной, равной этой полусумме (например, AX = полусумме оснований). Соединив выбранную вершину (D) с концом отложенного отрезка (X), мы получим искомый треугольник $\triangle ADX$.