Номер 17, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

17. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 18 см.

Найдите длину основания треугольника.

(36 см)

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Один из внешних углов равен $60^\circ$.
Высота, проведенная к боковой стороне, $h_b = 18 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$h_b = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$ (хотя для данной задачи метры не требуются, так как все величины в сантиметрах и ответ также ожидается в сантиметрах, но для строгости указан перевод).

Найти:

Длина основания $AC$.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник будет $ABC$, где $AB = BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание.

1. Определим внутренний угол, соответствующий внешнему углу $60^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Таким образом, внутренний угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был $120^\circ$, то сумма двух углов при основании составила бы $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$. Это невозможно для треугольника.

3. Следовательно, угол $120^\circ$ является углом при вершине (между равными сторонами). Пусть это будет угол $B = 120^\circ$.

4. Найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
Так как $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника), то:
$ 2 \angle A + 120^\circ = 180^\circ $
$ 2 \angle A = 180^\circ - 120^\circ $
$ 2 \angle A = 60^\circ $
$ \angle A = \angle C = 30^\circ $.

5. Рассмотрим высоту, проведенную к боковой стороне. Пусть это будет высота $AD$, опущенная из вершины $A$ на боковую сторону $BC$.
Высота $AD$ образует прямоугольный треугольник $ADC$ (угол $D = 90^\circ$).

6. В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известны:

• Гипотенуза — $AC$ (основание, которое мы ищем).
• Катет $AD = 18 \text{ см}$ (заданная высота).
• Угол $C = 30^\circ$.

7. Используем тригонометрическое соотношение синуса в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$ \sin(\angle C) = \frac{AD}{AC} $
$ \sin(30^\circ) = \frac{18}{AC} $

8. Известно, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.
$ \frac{1}{2} = \frac{18}{AC} $
Выразим $AC$:
$ AC = 18 \times 2 $
$ AC = 36 \text{ см} $

Ответ:

$36 \text{ см}$