Номер 23, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

23. В данный треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки впишите ромб $AKPH$ так, чтобы его сторона $AH$ лежала на стороне $AC$ треугольника, а вершины $K$ и $P$ – на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

(Сначала постройте ромб $AK_1P_1H_1$ так, чтобы точка $K_1$ лежала на стороне $AB$, а точка $H_1$ – на стороне $AC$. Затем, используя гомотетию с центром в точке $A$, отображающую точку $P_1$ в точку $P$, принадлежащую стороне $BC$, постройте ромб $AKPH$)

Дано:

Треугольник $ABC$.

Найти:

Вписать ромб $AKPH$ в треугольник $ABC$ так, чтобы его сторона $AH$ лежала на стороне $AC$ треугольника, а вершины $K$ и $P$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

Решение:

Задача по построению ромба $AKPH$ в заданном треугольнике $ABC$ решается с использованием метода гомотетии, как предложено в условии.

Этап 1: Построение вспомогательного ромба $AK_1P_1H_1$.

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.

2. С помощью циркуля, установив его острие в вершину $A$, проведите дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга должна пересечь сторону $AB$ в точке $K_1$ и сторону $AC$ в точке $H_1$. Таким образом, $AK_1 = AH_1 = r$.

3. Из точки $K_1$ (как центра) проведите дугу тем же радиусом $r$.

4. Из точки $H_1$ (как центра) проведите дугу тем же радиусом $r$.

5. Точка пересечения этих двух дуг, которая отлична от $A$, обозначается как $P_1$. Соедините отрезками точки $K_1$ с $P_1$ и $H_1$ с $P_1$. Полученный четырехугольник $AK_1P_1H_1$ является ромбом, так как все его стороны равны $r$ ($AK_1 = AH_1 = K_1P_1 = P_1H_1 = r$).

Этап 2: Построение искомого ромба $AKPH$ с использованием гомотетии.

6. Проведите луч, начинающийся в вершине $A$ и проходящий через точку $P_1$.

7. Точка пересечения луча $AP_1$ со стороной $BC$ треугольника $ABC$ является вершиной $P$ искомого ромба $AKPH$.

8. Через точку $P$ проведите прямую, параллельную стороне $AC$. Эта прямая пересечет сторону $AB$ треугольника в точке $K$. (Это следует из свойства гомотетии: так как $K_1P_1 \parallel AC$, то и $KP \parallel AC$).

9. Через точку $P$ проведите прямую, параллельную стороне $AB$. Эта прямая пересечет сторону $AC$ треугольника в точке $H$. (Это следует из свойства гомотетии: так как $H_1P_1 \parallel AB$, то и $HP \parallel AB$).

10. Соедините точки $K$ и $H$. Четырехугольник $AKPH$ является искомым ромбом.

    Доказательство того, что $AKPH$ является ромбом:

    По построению, $PK \parallel AH$ (так как $PK \parallel AC$) и $PH \parallel AK$ (так как $PH \parallel AB$). Следовательно, четырехугольник $AKPH$ является параллелограммом. Ромб $AKPH$ получен из ромба $AK_1P_1H_1$ гомотетией с центром в точке $A$. Гомотетия сохраняет форму фигуры, поэтому образ ромба также является ромбом. Кроме того, поскольку $AK_1 = AH_1$, а гомотетия пропорционально изменяет длины отрезков, то $AK = AH$, что подтверждает, что параллелограмм $AKPH$ с равными смежными сторонами является ромбом.

Ответ:

Алгоритм построения ромба $AKPH$ в треугольнике $ABC$ с использованием циркуля и линейки описан выше.