Номер 20, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

20. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите площадь этого треугольника.

$(84 \text{ см}^2)$

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки $x_1 = 4 \text{ см}$ и $x_2 = 21 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$x_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$x_2 = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Свойство касательных к вписанной окружности гласит, что отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны.

Если точка касания на гипотенузе делит ее на отрезки $x_1 = 4 \text{ см}$ и $x_2 = 21 \text{ см}$, то эти отрезки соответствуют касательным от вершин острых углов. То есть, часть гипотенузы, примыкающая к одной вершине, равна 4 см, а к другой – 21 см.

Следовательно, гипотенуза $c = x_1 + x_2 = 4 + 21 = 25 \text{ см}$.

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. В прямоугольном треугольнике отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности $r$.

Тогда длины катетов можно выразить через эти отрезки и радиус:

• Катет $a = r + x_1 = r + 4$
• Катет $b = r + x_2 = r + 21$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

$(r+4)^2 + (r+21)^2 = 25^2$

Раскроем скобки:

$(r^2 + 8r + 16) + (r^2 + 42r + 441) = 625$

Приведем подобные члены:

$2r^2 + 50r + 457 = 625$

Перенесем 625 в левую часть:

$2r^2 + 50r + 457 - 625 = 0$

$2r^2 + 50r - 168 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$r^2 + 25r - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $r$ с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)$

$D = 625 + 336$

$D = 961$

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Найдем корни уравнения $r = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$r_1 = \frac{-25 + 31}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$r_2 = \frac{-25 - 31}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательным, принимаем значение $r = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем длины катетов:

$a = r + 4 = 3 + 4 = 7 \text{ см}$

$b = r + 21 = 3 + 21 = 24 \text{ см}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \text{ см} \cdot 24 \text{ см}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 168 \text{ см}^2$

$S = 84 \text{ см}^2$

Ответ: $84 \text{ см}^2$