Номер 16, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

16. Найдите периметр прямоугольной трапеции, если длины ее оснований равны 8 см и 12 см, а один из углов равен 135°.

$((24 + 4\sqrt{2})\text{ см})$

17. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов ра-

Дано:

Прямоугольная трапеция.

Длины оснований: $a = 12 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$.

Один из углов: $\alpha = 135^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

Периметр трапеции $P$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD - боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота трапеции). Тогда углы при вершинах A и D равны $90^\circ$. То есть, $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle CDA = 90^\circ$.

Сумма углов, прилегающих к одной и той же боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для боковой стороны BC это означает $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Известно, что один из углов трапеции равен $135^\circ$. Поскольку два угла уже $90^\circ$, угол $135^\circ$ должен быть одним из углов $\angle ABC$ или $\angle BCD$. Так как $135^\circ > 90^\circ$, это тупой угол.

В прямоугольной трапеции острый угол всегда находится при большем основании, а тупой — при меньшем, если опускать высоту на большее основание. Или же острый угол находится при меньшем основании, а тупой — при большем, если опускать высоту с меньшего основания на большее. Однако, при любом расположении оснований (какое из них 8 см, а какое 12 см), геометрия треугольника, используемого для нахождения высоты и наклонной стороны, будет одинаковой.

Пусть большее основание $AB = 12$ см, а меньшее основание $CD = 8$ см. В таком случае, тупой угол $135^\circ$ будет $\angle BCD$. Тогда острый угол $\angle ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Опустим высоту CE из вершины C на основание AB (точка E лежит на AB). Четырехугольник AECD является прямоугольником. Следовательно, $AE = CD = 8$ см и $CE = AD = h$ (высота трапеции).

Найдем длину отрезка EB: $EB = AB - AE = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CEB$ (прямой угол при E). В этом треугольнике $\angle EBC = \angle ABC = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCE = 180^\circ - \angle CEB - \angle EBC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle EBC = \angle BCE = 45^\circ$, треугольник $\triangle CEB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и $CE = EB$.

Следовательно, высота трапеции $h = AD = CE = 4$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны BC, используя теорему Пифагора в $\triangle CEB$:

$BC^2 = CE^2 + EB^2$

$BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Периметр трапеции P - это сумма длин всех её сторон:

$P = AB + CD + AD + BC$

$P = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см}$

$P = 24 + 4\sqrt{2}$ см.

Ответ:

$P = (24 + 4\sqrt{2})$ см.