Номер 19, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

19. Треугольник с углами $40^\circ$, $50^\circ$, $90^\circ$ описан около окружности.
Найдите градусные меры дуг, на которые окружность раздели-
лась точками касания.

($90^\circ$, $130^\circ$, $140^\circ$)

Дано

Углы треугольника: $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 50^\circ$, $\gamma = 90^\circ$.

Треугольник описан около окружности.

Найти:

Градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания.

Решение

Пусть данный треугольник будет $ABC$ с углами $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.

Пусть окружность касается сторон $BC$, $AC$, $AB$ в точках $T_A$, $T_B$, $T_C$ соответственно. Центр окружности обозначим $O$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Например, $OT_A \perp BC$, $OT_B \perp AC$, $OT_C \perp AB$.

Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной треугольника, двумя точками касания на прилегающих к ней сторонах и центром вписанной окружности (например, $AT_C O T_B$).

В таком четырехугольнике два угла при точках касания прямые: $\angle O T_C A = 90^\circ$ и $\angle O T_B A = 90^\circ$.

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, сумма двух оставшихся углов в четырехугольнике $AT_C O T_B$ равна $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, $\angle T_C O T_B + \angle A = 180^\circ$.

Центральный угол, соответствующий дуге, равен мере этой дуги. Дуга $T_C T_B$ (между точками касания на сторонах, прилегающих к вершине $A$) соответствует центральному углу $\angle T_C O T_B$.

Отсюда, мера дуги $T_C T_B = 180^\circ - \angle A$.

Вычислим меры каждой из трех дуг:

1. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle A = 40^\circ$:

Мера дуги $T_C T_B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

2. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle B = 50^\circ$:

Мера дуги $T_A T_C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

3. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle C = 90^\circ$:

Мера дуги $T_B T_A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проверим сумму всех дуг: $140^\circ + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Сумма углов окружности верна.

Градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания, составляют $90^\circ$, $130^\circ$, $140^\circ$.

$90^\circ, 130^\circ, 140^\circ$.