Номер 12, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

12. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 см и 21 см. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

$(\approx 14,5 \text{ см})$

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Длина катета AC ($b$) = 20 см

Длина катета BC ($a$) = 21 см

CD - биссектриса, проведенная из вершины прямого угла C.

Перевод в СИ:

$a = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

$b = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы CD ($L_c$).

Решение:

Для нахождения длины биссектрисы, проведенной из вершины угла треугольника, можно использовать общую формулу: $L_c = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b}$ где $a$ и $b$ - длины сторон, образующих угол $\gamma$, а $L_c$ - длина биссектрисы этого угла.

В прямоугольном треугольнике угол, из которого проведена биссектриса, является прямым, то есть $\gamma = 90^\circ$.

Следовательно, половина угла будет $\gamma/2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Значение косинуса $45^\circ$ равно $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения длин катетов ($a=21 \text{ см}$, $b=20 \text{ см}$) и косинуса угла в формулу: $L_c = \frac{2 \cdot 21 \cdot 20 \cdot \cos(45^\circ)}{21 + 20}$

$L_c = \frac{2 \cdot 420 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{41}$

Сокращая двойки в числителе: $L_c = \frac{420\sqrt{2}}{41}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.41421356$: $L_c \approx \frac{420 \cdot 1.41421356}{41}$

$L_c \approx \frac{593.9696952}{41}$

$L_c \approx 14.4870657 \text{ см}$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $L_c \approx 14.5 \text{ см}$

Ответ:

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, составляет приблизительно 14.5 см.