Страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

8. Найдите площадь трапеции, если ее диагонали перпендикулярны и равны 8 см и 12 см.

(48 $см^2$)

Дано:

Диагональ трапеции $d_1 = 8 \text{ см}$.

Диагональ трапеции $d_2 = 12 \text{ см}$.

Диагонали трапеции перпендикулярны.

Перевод в СИ:

$d_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$d_2 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Площадь любого выпуклого четырехугольника, у которого диагонали перпендикулярны, равна половине произведения длин его диагоналей. Трапеция является выпуклым четырехугольником, поэтому данная формула применима.

Формула для площади $S$ в данном случае: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Подставим известные значения диагоналей в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 12 \text{ см}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 96 \text{ см}^2$

$S = 48 \text{ см}^2$

Ответ: $48 \text{ см}^2$

9. В ромбе $ABCD$ высота равна $4\sqrt{3}$ дм, а $\angle ADC = 120^\circ$. На прямой $BC$ произвольно взята точка $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$.

$(16\sqrt{3} \text{ дм}^2)$

Дано:

Ромб $ABCD$.

Высота ромба $h = 4\sqrt{3}$ дм.

Угол $\angle ADC = 120^\circ$.

Точка $F$ лежит на прямой $BC$.

Перевод в СИ:

$h = 4\sqrt{3}$ дм $= 0.4\sqrt{3}$ м.

Угол $\angle ADC = 120^\circ$ остается без изменений.

Найти:

Площадь треугольника $AFD$ ($S_{AFD}$).

Решение:

1. Определение свойств ромба и его параметров:

В ромбе $ABCD$ все стороны равны. Обозначим сторону ромба через $a$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = a$.

В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Если $\angle ADC = 120^\circ$, то смежный с ним угол $\angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Высота ромба $h$ связана со стороной $a$ и одним из углов (острым углом) формулой $h = a \sin(\alpha)$, где $\alpha$ - острый угол ромба. В данном случае, острый угол $\alpha = \angle DAB = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу высоты:

$4\sqrt{3} = a \cdot \sin(60^\circ)$

$4\sqrt{3} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Для того чтобы найти сторону $a$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{\sqrt{3}}$:

$a = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}}$

$a = 8$ дм.

Таким образом, длина стороны ромба $AD = 8$ дм.

2. Определение площади треугольника $AFD$:

Рассмотрим треугольник $AFD$. Его основанием можно выбрать сторону $AD$.

Поскольку $ABCD$ является ромбом, то он является частным случаем параллелограмма. Следовательно, его противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны друг другу ($AD \parallel BC$).

Точка $F$ по условию задачи лежит на прямой $BC$.

Высота треугольника, опущенная из вершины на противоположную сторону (или ее продолжение), представляет собой кратчайшее расстояние от вершины до этой стороны. В данном случае, высота треугольника $AFD$, опущенная из вершины $F$ на основание $AD$, равна расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $AD$. Это расстояние и есть высота ромба $h$.

Таким образом, высота треугольника $AFD$ относительно основания $AD$ равна $h_F = h = 4\sqrt{3}$ дм.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для треугольника $AFD$:

Основание $AD = 8$ дм.

Высота $h_F = 4\sqrt{3}$ дм.

$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_F$

$S_{AFD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3}$

$S_{AFD} = 4 \cdot 4\sqrt{3}$

$S_{AFD} = 16\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ:

Площадь треугольника $AFD$ равна $16\sqrt{3}$ дм$^2$.

10. a) Найдите площадь ромба, периметр которого равен 2 м, а длины диагоналей относятся как 3 : 4.

б) Найдите сторону ромба, площадь которого равна S, а диагонали относятся как m : n.

(а) 24 дм²; б) $\frac{S}{mn}\sqrt{m^2 + n^2}$

а)

Дано:

Периметр ромба $P = 2$ м

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$

Перевод в СИ:

$P = 2$ м (уже в СИ)

Найти:

Площадь ромба $S_{ромба}$

Решение:

Ромб имеет четыре равные стороны. Пусть сторона ромба равна $a$.

Периметр ромба $P = 4a$.

Известно, что $P = 2$ м, поэтому $4a = 2$ м.

Отсюда сторона ромба $a = \frac{2}{4} = 0.5$ м.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Это образует четыре прямоугольных треугольника, гипотенузой которых является сторона ромба $a$, а катетами - половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Дано, что $d_1 : d_2 = 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$.

Подставим значения $a$, $d_1$ и $d_2$ в уравнение Пифагора:

$(0.5)^2 = \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2$

$0.25 = \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4}$

$0.25 = \frac{25x^2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$1 = 25x^2$

$x^2 = \frac{1}{25}$

$x = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0.2$ (так как длина не может быть отрицательной)

Теперь найдем длины диагоналей:

$d_1 = 3x = 3 \cdot 0.2 = 0.6$ м

$d_2 = 4x = 4 \cdot 0.2 = 0.8$ м

Площадь ромба $S_{ромба}$ вычисляется по формуле $S_{ромба} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$.

$S_{ромба} = \frac{0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м}}{2} = \frac{0.48 \text{ м}^2}{2} = 0.24 \text{ м}^2$

Переведем площадь в квадратные дециметры, так как $1$ м $= 10$ дм, то $1$ м$^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100$ дм$^2$.

$S_{ромба} = 0.24 \cdot 100 = 24$ дм$^2$.

Ответ: $24$ дм$^2$

б)

Дано:

Площадь ромба $S_{ромба} = S$

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = m : n$

Найти:

Сторона ромба $a$

Решение:

Пусть длины диагоналей ромба будут $d_1$ и $d_2$.

Из отношения $d_1 : d_2 = m : n$ следует, что $d_1 = mk$ и $d_2 = nk$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

Площадь ромба $S$ выражается через его диагонали по формуле:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$:

$S = \frac{(mk) \cdot (nk)}{2}$

$S = \frac{mnk^2}{2}$

Выразим $k^2$ из этого уравнения:

$2S = mnk^2$

$k^2 = \frac{2S}{mn}$

Так как $k$ - это коэффициент пропорциональности для длин, он должен быть положительным, поэтому $k = \sqrt{\frac{2S}{mn}}$.

Сторона ромба $a$ связана с его диагоналями по теореме Пифагора, поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, половина каждой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим $d_1 = mk$ и $d_2 = nk$:

$a^2 = \left(\frac{mk}{2}\right)^2 + \left(\frac{nk}{2}\right)^2$

$a^2 = \frac{m^2k^2}{4} + \frac{n^2k^2}{4}$

$a^2 = \frac{k^2(m^2 + n^2)}{4}$

Теперь подставим выражение для $k^2 = \frac{2S}{mn}$ в это уравнение:

$a^2 = \frac{\left(\frac{2S}{mn}\right)(m^2 + n^2)}{4}$

$a^2 = \frac{2S(m^2 + n^2)}{4mn}$

$a^2 = \frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$a = \sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$

11. От участка земли, имеющего форму трапеции, нужно отделить треугольный участок так, чтобы его площадь была равна площади оставшейся части. Как это сделать? (Основание треугольника взять равным полусумме оснований, а высоту, равной высоте трапеции)

Дано:

Трапеция с параллельными основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$.

Требуется отделить треугольный участок, площадь которого равна площади оставшейся части. Указано, что основание треугольника должно быть равно полусумме оснований трапеции ($b_{треугольника} = \frac{a+b}{2}$), а высота — высоте трапеции ($h_{треугольника} = h$).

Перевод в СИ:

Все величины являются геометрическими размерами и уже представлены в общих единицах длины (например, метры), поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Способ отделения треугольного участка от трапеции, удовлетворяющего заданным условиям.

Решение:

Сначала убедимся, что указанные характеристики треугольника действительно приводят к тому, что его площадь равна половине площади трапеции.

Площадь трапеции $S_{трапеции}$ с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S_{трапеции} = \frac{a+b}{2}h$

Согласно условию задачи, площадь отделяемого треугольника $S_{треугольника}$ должна быть равна площади оставшейся части $S_{остатка}$. Это означает, что $S_{треугольника} = S_{остатка}$.

Так как общая площадь трапеции $S_{трапеции} = S_{треугольника} + S_{остатка}$, то мы можем записать:

$S_{трапеции} = S_{треугольника} + S_{треугольника} = 2 S_{треугольника}$

Следовательно, площадь отделяемого треугольника должна составлять половину площади трапеции:

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} S_{трапеции} = \frac{1}{2} \left(\frac{a+b}{2}\right)h = \frac{(a+b)h}{4}$

В условии задачи даны конкретные характеристики для отделяемого треугольника:

Основание треугольника $b_{треугольника} = \frac{a+b}{2}$

Высота треугольника $h_{треугольника} = h$

Вычислим площадь треугольника с такими характеристиками:

$S'_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot b_{треугольника} \cdot h_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a+b}{2}\right) \cdot h = \frac{(a+b)h}{4}$

Как видим, $S_{треугольника} = S'_{треугольника}$. Это подтверждает, что указанные размеры треугольника позволяют отделить участок, составляющий ровно половину площади трапеции.

Теперь опишем способ, как это сделать:

Предположим, у нас есть трапеция ABCD, где AB и CD — параллельные основания. Пусть длина основания AB равна $a$, а длина основания CD равна $b$. Высота трапеции — $h$ (перпендикулярное расстояние между AB и CD).

Для того чтобы отделить треугольный участок с требуемыми свойствами, выполните следующие действия:

1. Найдите длину полусуммы оснований трапеции: $m = \frac{a+b}{2}$.

2. Выберите одну из вершин трапеции, лежащую на одном из параллельных оснований, например, вершину D (лежащую на основании CD).

3. На противоположном параллельном основании (AB) отложите отрезок длиной $m$ от одной из его вершин (например, от вершины A). Обозначьте конечную точку этого отрезка как X. Таким образом, длина отрезка AX будет равна $m = \frac{a+b}{2}$.

4. Соедините выбранную вершину D с точкой X. Полученный треугольник $\triangle ADX$ и будет искомым. Его основание AX лежит на одном основании трапеции, а вершина D — на другом, поэтому его высота (перпендикуляр, опущенный из D на прямую AB) равна высоте трапеции $h$.

Площадь образованного треугольника $\triangle ADX$ будет составлять ровно половину площади трапеции, а оставшаяся часть (четырехугольник DBCX) будет иметь такую же площадь.

Ответ:

Чтобы отделить треугольный участок, площадь которого равна площади оставшейся части, следует найти полусумму оснований трапеции. Затем, выбрав одну вершину на одном из параллельных оснований трапеции (например, D), отложить на противоположном основании (AB) отрезок длиной, равной этой полусумме (например, AX = полусумме оснований). Соединив выбранную вершину (D) с концом отложенного отрезка (X), мы получим искомый треугольник $\triangle ADX$.

12. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 20 см и 21 см. Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.

$(\approx 14,5 \text{ см})$

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C.

Длина катета AC ($b$) = 20 см

Длина катета BC ($a$) = 21 см

CD - биссектриса, проведенная из вершины прямого угла C.

Перевод в СИ:

$a = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

$b = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

Найти:

Длину биссектрисы CD ($L_c$).

Решение:

Для нахождения длины биссектрисы, проведенной из вершины угла треугольника, можно использовать общую формулу: $L_c = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b}$ где $a$ и $b$ - длины сторон, образующих угол $\gamma$, а $L_c$ - длина биссектрисы этого угла.

В прямоугольном треугольнике угол, из которого проведена биссектриса, является прямым, то есть $\gamma = 90^\circ$.

Следовательно, половина угла будет $\gamma/2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Значение косинуса $45^\circ$ равно $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значения длин катетов ($a=21 \text{ см}$, $b=20 \text{ см}$) и косинуса угла в формулу: $L_c = \frac{2 \cdot 21 \cdot 20 \cdot \cos(45^\circ)}{21 + 20}$

$L_c = \frac{2 \cdot 420 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{41}$

Сокращая двойки в числителе: $L_c = \frac{420\sqrt{2}}{41}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.41421356$: $L_c \approx \frac{420 \cdot 1.41421356}{41}$

$L_c \approx \frac{593.9696952}{41}$

$L_c \approx 14.4870657 \text{ см}$

Округляя до одного знака после запятой, получаем: $L_c \approx 14.5 \text{ см}$

Ответ:

Длина биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла, составляет приблизительно 14.5 см.

13. Внутри равностороннего треугольника со стороной $a$ взята произвольная точка.

а) Докажите, что сумма расстояний от нее до сторон треугольника – постоянная.

б) Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

(б) $0.5a\sqrt{3}$)

Дано:

Равносторонний треугольник со стороной $a$.

Внутри треугольника взята произвольная точка.

Найти:

a) Доказать, что сумма расстояний от точки до сторон треугольника – постоянная.

б) Найти сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

Решение:

a) Докажите, что сумма расстояний от нее до сторон треугольника – постоянная.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Возьмем произвольную точку $P$ внутри треугольника. Опустим перпендикуляры из точки $P$ на стороны $BC$, $CA$, $AB$ и обозначим их длины как $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно. Эти длины $h_1$, $h_2$, $h_3$ представляют собой расстояния от точки $P$ до сторон треугольника.

Площадь треугольника $ABC$, обозначим ее $S_{ABC}$, можно представить как сумму площадей трех меньших треугольников, образованных точкой $P$ и сторонами исходного треугольника: $PBC$, $PCA$ и $PAB$.

Площадь каждого из этих трех треугольников вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В данном случае, основанием для всех трех треугольников является сторона $a$ исходного равностороннего треугольника, а высотами — $h_1$, $h_2$, $h_3$ соответственно.

Таким образом, площади будут:

$S_{PBC} = \frac{1}{2} a h_1$

$S_{PCA} = \frac{1}{2} a h_2$

$S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_3$

Суммируя эти площади, получаем общую площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_{PBC} + S_{PCA} + S_{PAB} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a$ за скобки:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ также может быть выражена через его сторону по формуле:

$S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Приравниваем два выражения для площади $S_{ABC}$:

$\frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3) = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Для того чтобы найти сумму расстояний $(h_1 + h_2 + h_3)$, разделим обе части уравнения на $\frac{1}{2} a$ (поскольку $a \ne 0$):

$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{a}$

$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Известно, что высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника: $h_1 + h_2 + h_3 = H$. Поскольку сторона $a$ данного треугольника является фиксированной величиной, то и высота $H$ является постоянной величиной. Следовательно, сумма расстояний также является постоянной.

Ответ: Доказано.

б) Найдите сумму расстояний от этой точки до сторон треугольника.

Согласно доказательству в пункте а), сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.

Высота $H$ равностороннего треугольника со стороной $a$ определяется формулой:

$H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Эту формулу можно записать в десятичном виде как $H = 0.5 a \sqrt{3}$.

Следовательно, сумма расстояний от точки до сторон треугольника равна $0.5a\sqrt{3}$.

Ответ: $0.5a\sqrt{3}$

14. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 8 дм, а один из катетов равен 10 дм. Найдите длину гипотенузы. $(16\frac{2}{3}\text{ дм})$

Пусть дан прямоугольный треугольник, $h$ — высота, проведенная к гипотенузе, $a$ — один из катетов, $c$ — гипотенуза. По условию, $h = 8$ дм, $a = 10$ дм.

Высота, опущенная из вершины прямого угла, вместе с известным катетом $a$ и частью гипотенузы образует меньший прямоугольный треугольник. В этом меньшем треугольнике катет $a$ исходного треугольника является гипотенузой, высота $h$ — одним из катетов, а проекция катета $a$ на гипотенузу $c$ (обозначим ее $a_c$) — вторым катетом.

Применим теорему Пифагора для этого меньшего треугольника, чтобы найти длину проекции $a_c$:

$a^2 = h^2 + a_c^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = 8^2 + a_c^2$

$100 = 64 + a_c^2$

$a_c^2 = 100 - 64 = 36$

$a_c = \\sqrt{36} = 6$ дм.

Теперь воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, которое гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

$a^2 = c \\cdot a_c$

Подставим известные значения $a=10$ и $a_c=6$, чтобы найти гипотенузу $c$:

$10^2 = c \\cdot 6$

$100 = 6c$

$c = \\frac{100}{6} = \\frac{50}{3}$ дм.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$c = 16\\frac{2}{3}$ дм.

Ответ: $16\\frac{2}{3}$ дм.