Страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

32. В окружность вписан треугольник, одна из сторон которого равна 6 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой стороны, если угол треугольника, лежащий против нее, равен $60^\circ$.

$(\sqrt{3} \text{ см})$

Дано:

Сторона треугольника $a = 6$ см.

Угол треугольника, лежащий напротив этой стороны, $\alpha = 60^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \pi/3 \text{ радиан}$

Найти:

Расстояние $h$ от центра окружности до данной стороны.

Решение:

Пусть $R$ — радиус описанной вокруг треугольника окружности. Согласно теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Выразим радиус $R$:

$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$

Подставим известные значения $a = 6$ см и $\alpha = 60^\circ$:

$R = \frac{6}{2 \sin 60^\circ}$

Так как $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$R = \frac{6}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим расстояние от центра окружности до стороны $a$. Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ — сторона треугольника длиной $a$. Пусть $M$ — середина стороны $AB$. Тогда отрезок $OM$ перпендикулярен стороне $AB$ и является искомым расстоянием $h$.

Треугольник $AOB$ является равнобедренным, так как $OA = OB = R$ (радиусы окружности). Высота $OM$ в равнобедренном треугольнике $AOB$ также является медианой и биссектрисой угла $\angle AOB$.

Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу $AB$, вдвое больше вписанного угла $\angle ACB = \alpha$, опирающегося на ту же дугу:

$\angle AOB = 2\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ (где $M$ — середина $AB$), угол $\angle AOM$ равен половине центрального угла $\angle AOB$:

$\angle AOM = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Также можно заметить, что $\angle AOM = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $OMA$ гипотенуза $OA = R$, а катет $OM = h$. Катет $OM$ является прилежащим к углу $\angle AOM$. Следовательно:

$h = OM = OA \cdot \cos(\angle AOM) = R \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значение $R = 2\sqrt{3}$ см и $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$:

$h = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

33. Около треугольника $ABC$ описана окружность радиусом 8 см. Найдите длину стороны $AB$, если известно, что длина стороны $BC$ равна 12 см, а высота треугольника, проведенная к стороне $AC$, равна 5 см. $(\frac{20}{3} \text{ см})$

Дано

Радиус описанной окружности около треугольника $ABC$: $R = 8$ см

Длина стороны $BC$: $a = 12$ см

Высота треугольника, проведенная к стороне $AC$ (обозначим ее как $h_{AC}$): $h_{AC} = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$h_{AC} = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину стороны $AB$ (обозначим ее как $c$).

Решение

Площадь треугольника $ABC$ может быть выражена двумя способами.

1. Через сторону и проведенную к ней высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_{AC}$.

2. Через стороны треугольника и радиус описанной окружности: $S = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4R}$.

Обозначим стороны треугольника: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$.

Тогда формулы для площади примут вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AC}$

$S = \frac{c \cdot a \cdot b}{4R}$

Приравниваем эти два выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot b \cdot h_{AC} = \frac{c \cdot a \cdot b}{4R}$

Мы можем сократить $b$ из обеих частей уравнения, так как длина стороны треугольника не равна нулю ($b \neq 0$):

$\frac{1}{2} \cdot h_{AC} = \frac{c \cdot a}{4R}$

Теперь выразим искомую сторону $c$ (то есть $AB$):

$c = \frac{h_{AC} \cdot 4R}{2a} = \frac{2R \cdot h_{AC}}{a}$

Подставим известные значения:

$R = 8$ см, $h_{AC} = 5$ см, $a = 12$ см.

$c = \frac{2 \cdot 8 \text{ см} \cdot 5 \text{ см}}{12 \text{ см}}$

$c = \frac{16 \cdot 5}{12} \text{ см}$

$c = \frac{80}{12} \text{ см}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$c = \frac{80 \div 4}{12 \div 4} \text{ см}$

$c = \frac{20}{3} \text{ см}$

Ответ:

Длина стороны $AB$ равна $\frac{20}{3}$ см.

34. Найдите периметр треугольника ABC, если AB = 5 м, AC = 9 м, $sin A = 0.8$.

(($14 + 2\sqrt{13}$) м или $(14 + 4\sqrt{10})$ м)

Дано:

Треугольник $ABC$

$AB = 5$ м

$AC = 9$ м

$\sin A = 0.8$

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ (метры), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Периметр $P_{ABC}$

Решение:

Периметр треугольника $ABC$ находится как сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + AC + BC$.

Нам известны длины сторон $AB$ и $AC$, но не известна длина стороны $BC$. Чтобы найти $BC$, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$.

Для применения теоремы косинусов нам необходимо найти значение $\cos A$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ выразим $\cos A$:

$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$

$\cos A = \pm\sqrt{1 - \sin^2 A}$

Подставим известное значение $\sin A = 0.8$:

$\cos A = \pm\sqrt{1 - (0.8)^2}$

$\cos A = \pm\sqrt{1 - 0.64}$

$\cos A = \pm\sqrt{0.36}$

$\cos A = \pm 0.6$

Поскольку косинус угла может быть как положительным (для острого угла), так и отрицательным (для тупого угла), рассмотрим два возможных случая для угла $A$.

Случай 1: Угол $A$ острый ($\cos A = 0.6$)

Применяем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 0.6$

$BC^2 = 25 + 81 - 90 \cdot 0.6$

$BC^2 = 106 - 54$

$BC^2 = 52$

$BC = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ м

Теперь найдем периметр $P_1$:

$P_1 = AB + AC + BC = 5 + 9 + 2\sqrt{13} = (14 + 2\sqrt{13})$ м

Случай 2: Угол $A$ тупой ($\cos A = -0.6$)

Применяем теорему косинусов для нахождения стороны $BC$:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 9^2 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot (-0.6)$

$BC^2 = 25 + 81 + 90 \cdot 0.6$

$BC^2 = 106 + 54$

$BC^2 = 160$

$BC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ м

Теперь найдем периметр $P_2$:

$P_2 = AB + AC + BC = 5 + 9 + 4\sqrt{10} = (14 + 4\sqrt{10})$ м

Ответ:

Периметр треугольника $ABC$ может быть $(14 + 2\sqrt{13})$ м или $(14 + 4\sqrt{10})$ м.

35. Найдите площадь треугольника,
длины сторон которого 12 мм,
16 мм и 21 мм.
$(\approx 95,4 \text{ мм}^2)$

Дано:

сторона a = 12 мм

сторона b = 16 мм

сторона c = 21 мм

Перевод в СИ:

сторона a = 0.012 м

сторона b = 0.016 м

сторона c = 0.021 м

Найти:

площадь треугольника S

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$ треугольника:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

Подставим значения сторон в метрах:

$p = \frac{0.012 \text{ м} + 0.016 \text{ м} + 0.021 \text{ м}}{2}$

$p = \frac{0.049 \text{ м}}{2}$

$p = 0.0245 \text{ м}$

Теперь применим формулу Герона для площади $S$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Вычислим разности:

$p-a = 0.0245 \text{ м} - 0.012 \text{ м} = 0.0125 \text{ м}$

$p-b = 0.0245 \text{ м} - 0.016 \text{ м} = 0.0085 \text{ м}$

$p-c = 0.0245 \text{ м} - 0.021 \text{ м} = 0.0035 \text{ м}$

Подставим эти значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{0.0245 \times 0.0125 \times 0.0085 \times 0.0035 \text{ м}^4}$

$S = \sqrt{9.109375 \times 10^{-9} \text{ м}^4}$

$S \approx 9.5443 \times 10^{-5} \text{ м}^2$

Для удобства и сравнения с результатом на изображении переведем площадь в квадратные миллиметры. Мы знаем, что $1 \text{ м}^2 = 10^6 \text{ мм}^2$:

$S \approx 9.5443 \times 10^{-5} \times 10^6 \text{ мм}^2$

$S \approx 95.443 \text{ мм}^2$

Округлим результат до одного знака после запятой, как это сделано в подсказке на изображении:

$S \approx 95.4 \text{ мм}^2$

Ответ:

Приблизительная площадь треугольника составляет $95.4 \text{ мм}^2$.

35. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого 12 мм, 16 мм и 21 мм. $(\approx 95,4 \text{ мм}^2)$

36. В подшипнике находится 18 стальных шариков (они лежат вплотную друг к другу). Найдите радиус $r$ шарика, если радиус внешнего круга катания $(OB+r)$ равен 60 мм (рисунок 4). Рисунок 4 $(\approx 9 \text{ мм})$

35. Найдите площадь треугольника, длины сторон которого 12 мм, 16 мм и 21 мм.

Дано:

Стороны треугольника:

• $a = 12 \, \text{мм}$

• $b = 16 \, \text{мм}$

• $c = 21 \, \text{мм}$

Перевод в СИ:

• $a = 0.012 \, \text{м}$

• $b = 0.016 \, \text{м}$

• $c = 0.021 \, \text{м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используем формулу Герона.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2}$

$p = \frac{12 \, \text{мм} + 16 \, \text{мм} + 21 \, \text{мм}}{2} = \frac{49 \, \text{мм}}{2} = 24.5 \, \text{мм}$

Теперь применим формулу Герона для площади $S$:

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

$S = \sqrt{24.5(24.5 - 12)(24.5 - 16)(24.5 - 21)}$

$S = \sqrt{24.5 \times 12.5 \times 8.5 \times 3.5}$

$S = \sqrt{9114.0625}$

$S \approx 95.4676 \, \text{мм}^2$

Округляем до двух знаков после запятой, получаем $S \approx 95.47 \, \text{мм}^2$. Отметим, что указанная в условии примерная величина $95.4 \, \text{мм}^2$ может быть результатом округления до одного знака после запятой с меньшей точностью.

Ответ: $S \approx 95.47 \, \text{мм}^2$

36. В подшипнике находится 18 стальных шариков (они лежат вплотную друг к другу). Найдите радиус $r$ шарика, если радиус внешнего круга катания ($OB+r$) равен 60 мм (рисунок 4).

Дано:

Количество стальных шариков $N = 18$.

Радиус внешнего круга катания $R_{outer} = OB + r = 60 \, \text{мм}$.

Перевод в СИ:

• $N = 18$

• $R_{outer} = 60 \, \text{мм} = 0.060 \, \text{м}$

Найти:

Радиус шарика $r$.

Решение:

Так как шарики лежат вплотную друг к другу, их центры образуют правильный $N$-угольник с центром в точке $O$ (центре подшипника).

Угол $\alpha$, который приходится на один шарик (угол между линиями, проведенными от центра $O$ к центрам двух соседних шариков), равен:

$\alpha = \frac{360^\circ}{N} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром подшипника $O$ и центрами двух соседних шариков, например $A$ и $B$. Расстояние $OA = OB$ - это радиус окружности, проходящей через центры шариков.

Из условия задачи $OB + r = 60 \, \text{мм}$, следовательно, $OA = OB = 60 - r$.

Отрезок $AB$ соединяет центры двух соседних шариков, которые касаются друг друга, поэтому $AB = 2r$.

Проведем высоту из центра $O$ к отрезку $AB$, назовем точку пересечения $C$. Треугольник $OAC$ является прямоугольным.

Угол $\angle AOC$ равен половине угла $\alpha$:

$\angle AOC = \frac{\alpha}{2} = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$

Длина катета $AC$ в прямоугольном треугольнике $OAC$ равна половине отрезка $AB$, то есть $AC = r$.

Гипотенуза $OA = 60 - r$.

Используем тригонометрическое соотношение для синуса угла:

$\sin(\angle AOC) = \frac{AC}{OA}$

$\sin(10^\circ) = \frac{r}{60 - r}$

Теперь решим уравнение относительно $r$:

$r = (60 - r) \sin(10^\circ)$

$r = 60 \sin(10^\circ) - r \sin(10^\circ)$

$r + r \sin(10^\circ) = 60 \sin(10^\circ)$

$r(1 + \sin(10^\circ)) = 60 \sin(10^\circ)$

$r = \frac{60 \sin(10^\circ)}{1 + \sin(10^\circ)}$

Используя значение $\sin(10^\circ) \approx 0.173648$, получаем:

$r \approx \frac{60 \times 0.173648}{1 + 0.173648} = \frac{10.41888}{1.173648}$

$r \approx 8.8778 \, \text{мм}$

Округляем до двух знаков после запятой, получаем $r \approx 8.88 \, \text{мм}$. Если округлять до ближайшего целого значения, как в подсказке, то $r \approx 9 \, \text{мм}$.

Ответ: $r \approx 8.88 \, \text{мм}$

37. a) Длины диагоналей параллелограмма равны 13 см и 19 см, а длина меньшей его стороны равна 11 см. Найдите длину большей стороны параллелограмма.

б) Длины сторон треугольника равны 11 см, 13 см и 16 см. Найдите длину медианы, проведенной к меньшей стороне.

(а) 12 см; б) 13,5 см)

a)

Дано:

длины диагоналей параллелограмма: $d_1 = 13 \text{ см}$, $d_2 = 19 \text{ см}$

длина меньшей стороны: $a = 11 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$d_1 = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$d_2 = 19 \text{ см} = 0.19 \text{ м}$

$a = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

Найти:

длину большей стороны $b$

Решение:

Для параллелограмма справедливо соотношение между длинами сторон $a, b$ и длинами диагоналей $d_1, d_2$. Эта теорема утверждает, что сумма квадратов длин диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Поскольку все исходные данные и требуемый ответ представлены в сантиметрах, расчеты удобно провести в этой единице измерения.

Подставим известные значения в формулу:

$13^2 + 19^2 = 2(11^2 + b^2)$

Вычислим квадраты диагоналей и меньшей стороны:

$169 + 361 = 2(121 + b^2)$

Выполним сложение в левой части уравнения:

$530 = 2(121 + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{530}{2} = 121 + b^2$

$265 = 121 + b^2$

Вычтем 121 из обеих частей уравнения, чтобы найти $b^2$:

$b^2 = 265 - 121$

$b^2 = 144$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $b$:

$b = \sqrt{144}$

$b = 12 \text{ см}$

Ответ: $12 \text{ см}$

б)

Дано:

длины сторон треугольника: $a = 11 \text{ см}$, $b = 13 \text{ см}$, $c = 16 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$b = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

$c = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

длину медианы $m_a$, проведенной к меньшей стороне

Решение:

Меньшая сторона треугольника имеет длину $11 \text{ см}$. Обозначим эту сторону как $a$, а две другие стороны как $b$ и $c$. Таким образом, $a = 11 \text{ см}$, $b = 13 \text{ см}$, $c = 16 \text{ см}$.

Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$ (меньшей стороне), вычисляется по формуле медианы:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Поскольку все исходные данные и требуемый ответ представлены в сантиметрах, расчеты удобно провести в этой единице измерения.

Подставим известные значения в формулу:

$m_a^2 = \frac{2(13^2) + 2(16^2) - 11^2}{4}$

Вычислим квадраты длин сторон:

$13^2 = 169$

$16^2 = 256$

$11^2 = 121$

Подставим эти значения обратно в формулу:

$m_a^2 = \frac{2(169) + 2(256) - 121}{4}$

Выполним умножение:

$m_a^2 = \frac{338 + 512 - 121}{4}$

Выполним сложение и вычитание в числителе:

$m_a^2 = \frac{850 - 121}{4}$

$m_a^2 = \frac{729}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $m_a$:

$m_a = \sqrt{\frac{729}{4}}$

$m_a = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{4}}$

Так как $\sqrt{729} = 27$ и $\sqrt{4} = 2$:

$m_a = \frac{27}{2}$

$m_a = 13.5 \text{ см}$

Ответ: $13.5 \text{ см}$