Номер 30, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

30. Правильным паркетом называется такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо либо общую вершину, либо не имеют общих точек, причем его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина совместится с любой другой заданной вершиной.

Приведите примеры двух правильных паркетов, в вершинах которых сходятся:
а) 5;
б) 4;
в) 3 многоугольника. Сколько всего существует правильных паркетов?

(Например, паркет, составленный из:
а) правильных треугольников и квадратов;
б) правильных треугольников и шестиугольников;
в) квадратов и правильных восьмиугольников. Приведите другие примеры)

Для правильного паркета сумма углов многоугольников, сходящихся в одной вершине, должна составлять $360^\circ$. Внутренний угол правильного $n$-угольника равен $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$. Определение "правильного паркета", данное в задаче ("его можно наложить на самого себя так, что любая заданная его вершина совместится с любой другой заданной вершиной"), соответствует определению вершинно-транзитивных (или однородных) замощений плоскости, которые включают 3 правильных (состоящих из многоугольников одного типа) и 8 полуправильных (архимедовых) замощений.

а) 5 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 5 многоугольников:

• Паркет, состоящий из четырех правильных треугольников и одного правильного шестиугольника (конфигурация вершины $3.3.3.3.6$). Сумма углов: $4 \times 60^\circ + 120^\circ = 240^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из трех правильных треугольников и двух правильных квадратов (конфигурация вершины $3.3.3.4.4$). Сумма углов: $3 \times 60^\circ + 2 \times 90^\circ = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. (Существует также паркет с конфигурацией $3.3.4.3.4$, который также состоит из трех треугольников и двух квадратов и имеет 5 многоугольников в вершине).

Ответ: Паркет из четырех правильных треугольников и одного правильного шестиугольника ($3.3.3.3.6$); паркет из трех правильных треугольников и двух правильных квадратов ($3.3.3.4.4$).

б) 4 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 4 многоугольника:

• Паркет, состоящий из двух правильных треугольников и двух правильных шестиугольников (конфигурация вершины $3.6.3.6$). Сумма углов: $2 \times 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 120^\circ + 240^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из одного правильного треугольника, двух правильных квадратов и одного правильного шестиугольника (конфигурация вершины $3.4.6.4$). Сумма углов: $60^\circ + 2 \times 90^\circ + 120^\circ = 60^\circ + 180^\circ + 120^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из двух правильных треугольников и двух правильных шестиугольников ($3.6.3.6$); паркет из одного правильного треугольника, двух правильных квадратов и одного правильного шестиугольника ($3.4.6.4$).

в) 3 многоугольника

Примеры паркетов, в вершинах которых сходятся 3 многоугольника:

• Паркет, состоящий из одного правильного квадрата и двух правильных восьмиугольников (конфигурация вершины $4.8.8$). Сумма углов: $90^\circ + 2 \times 135^\circ = 90^\circ + 270^\circ = 360^\circ$.
• Паркет, состоящий из одного правильного треугольника и двух правильных двенадцатиугольников (конфигурация вершины $3.12.12$). Сумма углов: $60^\circ + 2 \times 150^\circ = 60^\circ + 300^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Паркет из одного правильного квадрата и двух правильных восьмиугольников ($4.8.8$); паркет из одного правильного треугольника и двух правильных двенадцатиугольников ($3.12.12$).

Сколько всего существует правильных паркетов?

Всего существует 11 правильных (вершинно-транзитивных) паркетов, которые включают:

• 3 правильных замощения (состоящие из одного типа правильных многоугольников):
  • Из шести правильных треугольников (конфигурация вершины $3.3.3.3.3.3$)
  • Из четырех правильных квадратов (конфигурация вершины $4.4.4.4$)
  • Из трех правильных шестиугольников (конфигурация вершины $6.6.6$)
• 8 полуправильных (архимедовых) замощений (состоящие из двух или более типов правильных многоугольников):
  • Три треугольника и два квадрата ($3.3.3.4.4$)
  • Треугольник, квадрат, треугольник, квадрат, треугольник ($3.3.4.3.4$)
  • Четыре треугольника и один шестиугольник ($3.3.3.3.6$)
  • Треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат ($3.4.6.4$)
  • Треугольник, шестиугольник, треугольник, шестиугольник ($3.6.3.6$)
  • Квадрат, шестиугольник, двенадцатиугольник ($4.6.12$)
  • Квадрат, восьмиугольник, восьмиугольник ($4.8.8$)
  • Треугольник, двенадцатиугольник, двенадцатиугольник ($3.12.12$)

Ответ: Всего существует 11 правильных паркетов (вершинно-транзитивных замощений).