Номер 28, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

28. Можно ли построить четырехугольник, если около него можно описать окружность, а величины его углов относятся как:

а) $1:2:3:4$;

б) $5:5:9:10?$

(а) Можно; б) нельзя)

а)

Дано

Отношение углов четырехугольника: $1:2:3:4$.

Найти

Можно ли построить четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Решение

Пусть углы четырехугольника равны $x, 2x, 3x, 4x$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$x + 2x + 3x + 4x = 360^\circ$

$10x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$

Тогда величины углов четырехугольника:

$\alpha = 1 \cdot 36^\circ = 36^\circ$

$\beta = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$

$\gamma = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$

$\delta = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Четырехугольник является вписанным (около него можно описать окружность) тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Проверим это условие для полученных углов:

Если мы расположим углы так, чтобы $36^\circ$ был напротив $144^\circ$, а $72^\circ$ напротив $108^\circ$:

Сумма первой пары противоположных углов: $36^\circ + 144^\circ = 180^\circ$.

Сумма второй пары противоположных углов: $72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$.

Оба условия выполняются, следовательно, такой четырехугольник можно построить.

Ответ: Можно

б)

Дано

Отношение углов четырехугольника: $5:5:9:10$.

Найти

Можно ли построить четырехугольник, около которого можно описать окружность.

Решение

Пусть углы четырехугольника равны $5x, 5x, 9x, 10x$.

Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$.

$5x + 5x + 9x + 10x = 360^\circ$

$29x = 360^\circ$

$x = \frac{360}{29}^\circ$

Четырехугольник является вписанным, если сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Выразим $180^\circ$ через $x$:

$180^\circ = 180 \cdot \frac{29x}{360} = \frac{29}{2}x = 14.5x$

Следовательно, сумма любых двух противоположных углов должна быть равна $14.5x$.

Рассмотрим все возможные суммы пар углов из заданного набора $\{5x, 5x, 9x, 10x\}$:

1. Сумма двух углов, которые равны $5x$: $5x + 5x = 10x$.

Это не равно $14.5x$, так как $10x \neq 14.5x$ (поскольку $x \neq 0$). Значит, два равных угла не могут быть противоположными.

2. Сумма углов $5x$ и $9x$: $5x + 9x = 14x$.

Это не равно $14.5x$, так как $14x \neq 14.5x$. Значит, эти углы не могут быть противоположными.

3. Сумма углов $5x$ и $10x$: $5x + 10x = 15x$.

Это не равно $14.5x$, так как $15x \neq 14.5x$. Значит, эти углы не могут быть противоположными.

Поскольку ни одна возможная пара углов из заданного набора не дает в сумме $180^\circ$ ($14.5x$), невозможно найти две пары противоположных углов, удовлетворяющих условию вписанного четырехугольника.

Ответ: Нельзя