Номер 4, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

4. Параллелограмм одной из его диагоналей делится на два треугольника, периметр каждого из которых равен 8 дм. Найдите длину этой диагонали, если периметр параллелограмма равен 10 дм.

(3 дм)

Дано:

Периметр каждого из двух треугольников, на которые делится параллелограмм диагональю: $P_{\text{тр}} = 8 \text{ дм}$

Периметр параллелограмма: $P_{\text{пар}} = 10 \text{ дм}$

Перевод в СИ:

$P_{\text{тр}} = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$P_{\text{пар}} = 10 \text{ дм} = 1.0 \text{ м}$

Найти:

Длину диагонали параллелограмма: $d$

Решение:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Обозначим длину диагонали $AC = d$.

Периметр треугольника $\triangle ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$.

Периметр треугольника $\triangle ADC$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle ADC} = AD + DC + AC$.

По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: $AB = DC$ и $BC = AD$.

Сложим периметры двух треугольников:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)$

Заменим $AD$ на $BC$ и $DC$ на $AB$ в выражении для суммы периметров:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = (AB + BC + AC) + (BC + AB + AC)$

Сгруппируем члены:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = 2 \cdot AB + 2 \cdot BC + 2 \cdot AC$

Вынесем общий множитель 2:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = 2(AB + BC) + 2 \cdot AC$

Мы знаем, что периметр параллелограмма $P_{\text{пар}}$ равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон: $P_{\text{пар}} = 2(AB + BC)$.

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$P_{\triangle ABC} + P_{\triangle ADC} = P_{\text{пар}} + 2 \cdot AC$

По условию задачи, периметр каждого треугольника равен $8 \text{ дм}$, а периметр параллелограмма равен $10 \text{ дм}$. Подставим эти значения в уравнение:

$8 + 8 = 10 + 2 \cdot AC$

$16 = 10 + 2 \cdot AC$

Теперь решим уравнение относительно $AC$ (длины диагонали):

$2 \cdot AC = 16 - 10$

$2 \cdot AC = 6$

$AC = \frac{6}{2}$

$AC = 3 \text{ дм}$

Ответ: 3 дм