Страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

2. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного около окружности четырехугольника.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, описанного около окружности.

1. Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Четырехугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. В таком случае окружность называется вписанной в четырехугольник.

Ответ: Четырехугольник, все стороны которого являются касательными к некоторой окружности, называется описанным около этой окружности.

2. Сформулируйте и докажите свойство сторон описанного около окружности четырехугольника.

Формулировка свойства: В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Дано:

Пусть $ABCD$ — четырехугольник, описанный около окружности с центром $O$.

Пусть $K, L, M, N$ — точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ соответственно.

Найти:

Доказать, что $AB+CD = BC+DA$.

Решение:

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины до точки касания равны. Следовательно:

• $AK = AN$

• $BK = BL$

• $CL = CM$

• $DM = DN$

Обозначим длины этих равных отрезков: $AK = AN = x_1$, $BK = BL = x_2$, $CL = CM = x_3$, $DM = DN = x_4$.

Длины сторон четырехугольника можно выразить как суммы этих отрезков:

• $AB = AK + KB = x_1 + x_2$

• $BC = BL + LC = x_2 + x_3$

• $CD = CM + MD = x_3 + x_4$

• $DA = DN + NA = x_4 + x_1$

Теперь найдем суммы длин противоположных сторон:

$AB + CD = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

$BC + DA = (x_2 + x_3) + (x_4 + x_1) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$

Таким образом, мы видим, что $AB+CD = BC+DA$.

Ответ: Суммы длин противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

3. Сформулируйте и докажите признак четырехугольника, описанного около окружности.

Формулировка признака: Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Дано:

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, такой что $AB+CD = BC+DA$.

Найти:

Доказать, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Решение:

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $AB+CD = BC+DA$.

Построим окружность $\omega$, которая касается трех сторон четырехугольника: $AB, BC, CD$. Такая окружность существует и единственна. Пусть эта окружность касается сторон $AB, BC, CD$ в точках $K, L, M$ соответственно.

Предположим, что окружность $\omega$ не касается стороны $DA$. Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, сторона $DA$ должна находиться вне окружности $\omega$. Тогда из вершины $D$ можно провести вторую касательную к окружности $\omega$, отличную от $DC$. Пусть эта касательная пересекает прямую $AB$ в точке $A'$.

Таким образом, образовался четырехугольник $A'BCD$, который по построению описан около окружности $\omega$.

Согласно свойству описанного четырехугольника (доказанному в пункте 2), для четырехугольника $A'BCD$ выполняется равенство:

$A'B + CD = BC + DA'$

По условию задачи, для четырехугольника $ABCD$ мы имеем:

$AB + CD = BC + DA$

Вычтем первое равенство из второго:

$(AB + CD) - (A'B + CD) = (BC + DA) - (BC + DA')$

Что упрощается до:

$AB - A'B = DA - DA'$

Рассмотрим расположение точки $A'$ на прямой $AB$ относительно точки $A$:

1. Если точка $A'$ лежит между $A$ и $B$, то $AB = AA' + A'B$. Подставим это в равенство: $(AA' + A'B) - A'B = DA - DA'$ $AA' = DA - DA'$ Это означает, что $DA' + AA' = DA$. В треугольнике $DAA'$ по неравенству треугольника сумма двух сторон должна быть строго больше третьей стороны: $DA' + AA' > DA$. Равенство возможно только в случае, если точки $D, A', A$ лежат на одной прямой, и $A'$ лежит между $D$ и $A$. Но точка $A'$ также лежит на прямой $AB$. Следовательно, $A'$ является точкой пересечения прямых $DA$ и $AB$. Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, $A'$ может совпадать только с вершиной $A$.

2. Если точка $A$ лежит между $A'$ и $B$, то $A'B = A'A + AB$. Подставим это в равенство $AB - A'B = DA - DA'$: $AB - (A'A + AB) = DA - DA'$ $-A'A = DA - DA'$ $A'A = DA' - DA$ Это означает, что $DA + A'A = DA'$. В треугольнике $DAA'$ по неравенству треугольника $DA + A'A > DA'$. Равенство возможно только в случае, если точки $D, A, A'$ лежат на одной прямой, и $A$ лежит между $D$ и $A'$. Но точка $A$ также лежит на прямой $A'B$ (то есть $AB$). Следовательно, $A$ является точкой пересечения прямых $DA'$ и $A'B$. Таким образом, $A$ должна совпадать с $A'$.

Оба случая приводят к тому, что точка $A'$ должна совпадать с точкой $A$.

Это означает, что предположение о том, что окружность $\omega$ не касается стороны $DA$, является ложным. Следовательно, окружность $\omega$, касающаяся сторон $AB, BC, CD$, должна касаться и стороны $DA$.

Таким образом, в выпуклый четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Ответ: Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

322. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, если его стороны, взятые последовательно, относятся как числа:

a) $2 : 3 : 4 : 3$;

б) $2 : 3 : 4 : 5$?

а) 2 : 3 : 4 : 3

Дано:
Стороны четырехугольника $a, b, c, d$, взятые последовательно, относятся как $2:3:4:3$.

Найти:
Можно ли вписать окружность в данный четырехугольник?

Решение:
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. То есть, если стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, то должно выполняться условие $a + c = b + d$.
Пусть стороны четырехугольника будут $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 4k$, $d = 3k$, где $k$ - некоторый положительный коэффициент пропорциональности.
Проверим условие $a + c = b + d$:
$a + c = 2k + 4k = 6k$
$b + d = 3k + 3k = 6k$
Так как $6k = 6k$, условие $a + c = b + d$ выполняется.

Ответ: Да

б) 2 : 3 : 4 : 5

Дано:
Стороны четырехугольника $a, b, c, d$, взятые последовательно, относятся как $2:3:4:5$.

Найти:
Можно ли вписать окружность в данный четырехугольник?

Решение:
Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. То есть, если стороны четырехугольника равны $a, b, c, d$, то должно выполняться условие $a + c = b + d$.
Пусть стороны четырехугольника будут $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 4k$, $d = 5k$, где $k$ - некоторый положительный коэффициент пропорциональности.
Проверим условие $a + c = b + d$:
$a + c = 2k + 4k = 6k$
$b + d = 3k + 5k = 8k$
Так как $6k \neq 8k$ (при $k > 0$), условие $a + c = b + d$ не выполняется.

Ответ: Нет

323. В описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон равна 4,5 дм, а две другие стороны относятся как $2 : 3$. Найдите длины этих сторон.

Дано:

в описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон: $S_1 = 4.5$ дм.

отношение двух других сторон: $\frac{S_2}{S_3} = \frac{2}{3}$.

Перевод в СИ:

$S_1 = 4.5 \text{ дм} = 4.5 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.45 \text{ м}$.

Найти:

длины двух других сторон ($S_2, S_3$).

Решение:

по свойству четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. если стороны четырехугольника обозначить $a, b, c, d$ в последовательном порядке, то справедливо равенство $a + c = b + d$.

дано, что сумма двух противоположных сторон равна $4.5$ дм. пусть эта сумма будет $a+c = 4.5$ дм.

из свойства описанного четырехугольника следует, что сумма двух других противоположных сторон $b+d$ также равна $4.5$ дм:

$b + d = 4.5 \text{ дм}$

также дано, что эти две другие стороны относятся как $2:3$. пусть $b$ и $d$ - это эти стороны:

$\frac{b}{d} = \frac{2}{3}$

выразим $b$ через $d$:

$b = \frac{2}{3} d$

подставим это выражение в уравнение для суммы $b+d$:

$\frac{2}{3}d + d = 4.5$

приведем $d$ к общему знаменателю и сложим:

$\left(\frac{2}{3} + 1\right)d = 4.5$

$\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{3}\right)d = 4.5$

$\frac{5}{3}d = 4.5$

найдем значение $d$:

$d = 4.5 \cdot \frac{3}{5}$

$d = \frac{13.5}{5}$

$d = 2.7 \text{ дм}$

теперь найдем значение $b$, используя соотношение $b = \frac{2}{3} d$:

$b = \frac{2}{3} \cdot 2.7$

$b = 2 \cdot 0.9$

$b = 1.8 \text{ дм}$

проверим сумму найденных сторон: $1.8 \text{ дм} + 2.7 \text{ дм} = 4.5 \text{ дм}$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

длины этих сторон составляют $1.8$ дм и $2.7$ дм.