Номер 319, страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

319. a) Найдите периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если длина одного из оснований больше длины другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

б) Трапеция ABCD вписана в окружность, причем ее основание AD является диаметром этой окружности, а хорда BC стягивает дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен $R$.

a) Найдите периметр описанной около окружности прямоугольной трапеции, если длина одного из оснований больше длины другого на 6 см, а радиус окружности равен 4 см.

Дано:

Прямоугольная трапеция $ABCD$ описана около окружности.

Длина одного из оснований больше длины другого на 6 см: $|a - b| = 6 \text{ см}$.

Радиус окружности: $r = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$|a - b| = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$r = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Периметр трапеции $P$.

Решение:

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны $c_1$ и $c_2$. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является ее высотой. Пусть это будет сторона $c_1 = h$.

Если окружность вписана в трапецию, то ее диаметр равен высоте трапеции:

$h = 2r = 2 \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Таким образом, одна из боковых сторон трапеции $c_1 = 8 \text{ см}$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется свойство: сумма длин противоположных сторон равна. То есть, $a + b = c_1 + c_2$.

Пусть $a$ - большее основание, $b$ - меньшее. Тогда $a - b = 6 \text{ см}$ по условию.

Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Длина отрезка большего основания, отсекаемого высотой, будет равна разности оснований. Обозначим этот отрезок как $x = a - b = 6 \text{ см}$.

Тогда, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, этим отрезком $x$, и второй боковой стороной $c_2$:

$c_2^2 = h^2 + x^2$

$c_2^2 = 8^2 + 6^2$

$c_2^2 = 64 + 36$

$c_2^2 = 100$

$c_2 = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

Теперь, используя свойство для описанной трапеции $a + b = c_1 + c_2$:

$a + b = 8 \text{ см} + 10 \text{ см} = 18 \text{ см}$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = a + b + c_1 + c_2$.

Так как $a + b = c_1 + c_2$, периметр можно записать как $P = 2(a + b)$ или $P = 2(c_1 + c_2)$.

$P = 2 \cdot 18 \text{ см} = 36 \text{ см}$.

Ответ: $36 \text{ см}$

б) Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, причем ее основание $AD$ является диаметром этой окружности, а хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен $R$.

Дано:

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность.

Основание $AD$ является диаметром окружности.

Хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$.

Радиус окружности: $R$.

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$.

Решение:

Если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной.

Обозначим центр окружности через $O$. Поскольку $AD$ является диаметром, длина основания $AD = 2R$.

Хорда $BC$ стягивает дугу в $60^\circ$. Это означает, что центральный угол, опирающийся на эту дугу, $\angle BOC = 60^\circ$.

Так как $OB$ и $OC$ - радиусы окружности, то $OB = OC = R$.

Треугольник $BOC$ равнобедренный, и угол при его вершине $O$ равен $60^\circ$. Следовательно, треугольник $BOC$ является равносторонним.

Таким образом, длина хорды $BC$ равна радиусу: $BC = R$.

Теперь найдем высоту трапеции $h$. Высота трапеции - это перпендикулярное расстояние между параллельными основаниями $AD$ и $BC$. Поскольку $AD$ является диаметром, а трапеция равнобедренная, $BC$ параллельна $AD$.

Опустим перпендикуляр из центра $O$ на хорду $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения этого перпендикуляра с $BC$. $OM$ является высотой равностороннего треугольника $BOC$.

Длина высоты $OM$ в равностороннем треугольнике со стороной $R$ может быть найдена по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (где $BM = BC/2 = R/2$):

$OM^2 = OB^2 - BM^2$

$OM^2 = R^2 - (R/2)^2$

$OM^2 = R^2 - R^2/4$

$OM^2 = 3R^2/4$

$OM = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Эта длина $OM$ и является высотой трапеции $h = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Теперь у нас есть длины обоих оснований: $a = AD = 2R$ и $b = BC = R$.

И высота трапеции: $h = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

$S = \frac{2R + R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{3R}{2} \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$