Номер 313, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

313. a) Папа решил разбить и огородить клумбу формы треугольника с углом $150^{\circ}$ и площадью $4 \, \text{м}^2$, примыкающую к стене дома большей стороной. Какова может быть наименьшая длина изгороди?

б) Девятиклассникам было поручено разбить на пришкольном участке треугольную клумбу наименьшего периметра, площадь которой $9 \, \text{м}^2$, а один из ее углов – $120^{\circ}$. Найдите с точностью до $0,1 \, \text{м}$ периметр такой клумбы.

a)

Дано:

Треугольная клумба.

Один угол $\alpha = 150^\circ$.

Площадь $S = 4 \text{ м}^2$.

Одна сторона примыкает к стене дома (самая длинная).

Найти:

Наименьшая длина изгороди $L_{min}$.

Решение:

Пусть стороны треугольника, образующие угол $\alpha = 150^\circ$, равны $b$ и $c$.

Площадь треугольника задается формулой $S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$.

Подставим известные значения:

$4 = \frac{1}{2}bc \sin 150^\circ$

Мы знаем, что $\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Значит, $4 = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{1}{2}$

$4 = \frac{1}{4}bc$

$bc = 16$.

Сторона, примыкающая к стене дома, является самой длинной. В треугольнике самая длинная сторона лежит напротив самого большого угла. Поскольку один из углов равен $150^\circ$, он является наибольшим углом в треугольнике (сумма углов треугольника $180^\circ$, остальные два угла будут острыми).

Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $150^\circ$, это и есть самая длинная сторона. Эта сторона примыкает к стене и не требует изгороди.

Изгородь будет устанавливаться по двум другим сторонам треугольника, длины которых $b$ и $c$.

Длина изгороди $L = b + c$.

Нам нужно найти наименьшее значение $L = b+c$ при условии $bc = 16$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (AM-GM):

Для неотрицательных чисел $b$ и $c$ справедливо: $\frac{b+c}{2} \ge \sqrt{bc}$.

Отсюда $b+c \ge 2\sqrt{bc}$.

Минимальное значение $b+c$ достигается, когда $b=c$.

В нашем случае $bc = 16$, значит, $b=c=\sqrt{16}=4$ м.

Минимальная длина изгороди $L_{min} = 4 + 4 = 8$ м.

Проверим, действительно ли при $b=c=4$ м сторона $a$ (напротив угла $150^\circ$) является наибольшей.

По теореме косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos 150^\circ$.

$a^2 = 4^2 + 4^2 - 2(4)(4) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 16 + 16 - 32 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 32 + 16\sqrt{3}$

$a = \sqrt{32 + 16\sqrt{3}} \approx \sqrt{32 + 16 \times 1.732} = \sqrt{32 + 27.712} = \sqrt{59.712} \approx 7.73 \text{ м}$.

Так как $7.73 > 4$, сторона $a$ действительно самая длинная.

Ответ: 8 м.

б)

Дано:

Треугольная клумба.

Площадь $S = 9 \text{ м}^2$.

Один угол $\gamma = 120^\circ$.

Найти:

Наименьший периметр $P_{min}$ с точностью до $0,1 \text{ м}$.

Решение:

Пусть стороны треугольника, образующие угол $\gamma = 120^\circ$, равны $a$ и $b$, а сторона, противоположная этому углу, равна $c$.

Площадь треугольника задается формулой $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Подставим известные значения:

$9 = \frac{1}{2}ab \sin 120^\circ$

Мы знаем, что $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Значит, $9 = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$9 = \frac{\sqrt{3}}{4}ab$

$ab = \frac{36}{\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}$.

Периметр треугольника $P = a+b+c$.

По теореме косинусов для стороны $c$: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Мы знаем, что $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(-\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = a^2 + b^2 + ab$.

Таким образом, $c = \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Периметр $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2 + ab}$.

Чтобы периметр был наименьшим при фиксированной площади и одном угле, треугольник должен быть равнобедренным, то есть стороны, образующие заданный угол, должны быть равны: $a=b$.

Это следует из того, что для фиксированного произведения $ab$ сумма $a+b$ минимальна, когда $a=b$ (по неравенству AM-GM: $a+b \ge 2\sqrt{ab}$). Также выражение $a^2+b^2+ab$ будет минимальным, когда $a=b$, так как $a^2+b^2 \ge 2ab$, и при $a=b$ $a^2+b^2=2ab$. Соответственно, и $c = \sqrt{a^2+b^2+ab}$ будет минимальным. Следовательно, и периметр будет минимальным.

Примем $a=b$. Тогда из $ab = 12\sqrt{3}$ получаем $a^2 = 12\sqrt{3}$.

$a = \sqrt{12\sqrt{3}}$ м.

Теперь найдем $c$:

$c = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$c = \sqrt{12\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}$.

Периметр $P = a+b+c = a+a+a\sqrt{3} = 2a + a\sqrt{3} = a(2+\sqrt{3})$.

Подставим значение $a$:

$P = \sqrt{12\sqrt{3}}(2+\sqrt{3})$.

Вычислим приближенное значение:

$\sqrt{3} \approx 1.7320508$

$12\sqrt{3} \approx 12 \times 1.7320508 = 20.7846096$

$a = \sqrt{20.7846096} \approx 4.5590169$

$2+\sqrt{3} \approx 2 + 1.7320508 = 3.7320508$

$P \approx 4.5590169 \times 3.7320508 \approx 17.00901 \text{ м}$.

Округляем до $0,1 \text{ м}$:

$P \approx 17.0 \text{ м}$.

Ответ: 17.0 м.