Номер 315, страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

315. Можно ли описать окружность около четырехугольника,

углы которого, взятые последовательно, относятся как числа:

а) $2 : 2 : 3 : 3$;

б) $2 : 5 : 3 : 4$;

в) $3 : 5 : 3 : 1$?

Дано:

Отношения углов четырехугольника.

Найти:

Можно ли описать окружность около данного четырехугольника.

Решение:

Окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Пусть углы четырехугольника, взятые последовательно, относятся как $k_1 : k_2 : k_3 : k_4$. Тогда углы можно представить как $A = k_1 x$, $B = k_2 x$, $C = k_3 x$, $D = k_4 x$, где $x$ — некоторая константа.

Сумма всех углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)x = 360^\circ$.

Для того чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, должны выполняться условия:

$A + C = 180^\circ \implies k_1 x + k_3 x = 180^\circ \implies (k_1 + k_3)x = 180^\circ$

$B + D = 180^\circ \implies k_2 x + k_4 x = 180^\circ \implies (k_2 + k_4)x = 180^\circ$

Из этих условий следует, что $k_1 + k_3 = k_2 + k_4$. Также, сумма этих двух выражений дает $(k_1+k_2+k_3+k_4)x = 360^\circ$. Таким образом, условие сводится к тому, что сумма частей отношения противоположных углов должна быть равна половине общей суммы частей отношения всех углов. Пусть $S = k_1 + k_2 + k_3 + k_4$. Тогда условие выполнимо, если $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$.

а) 2 : 2 : 3 : 3

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 2$, $k_2 = 2$, $k_3 = 3$, $k_4 = 3$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 2 + 2 + 3 + 3 = 10$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 2 + 3 = 5$

$k_2 + k_4 = 2 + 3 = 5$

Так как $k_1 + k_3 = 5$, $k_2 + k_4 = 5$, и $S/2 = 10/2 = 5$, условие $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$ выполняется.

Ответ: Да, можно.

б) 2 : 5 : 3 : 4

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 2$, $k_2 = 5$, $k_3 = 3$, $k_4 = 4$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 2 + 5 + 3 + 4 = 14$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 2 + 3 = 5$

$k_2 + k_4 = 5 + 4 = 9$

Так как $k_1 + k_3 = 5$ и $k_2 + k_4 = 9$, они не равны между собой, а также не равны $S/2 = 14/2 = 7$. Условие не выполняется.

Ответ: Нет, нельзя.

в) 3 : 5 : 3 : 1

Данные коэффициенты отношений углов: $k_1 = 3$, $k_2 = 5$, $k_3 = 3$, $k_4 = 1$.

Найдем сумму всех частей отношения: $S = 3 + 5 + 3 + 1 = 12$.

Проверим суммы противоположных частей отношения:

$k_1 + k_3 = 3 + 3 = 6$

$k_2 + k_4 = 5 + 1 = 6$

Так как $k_1 + k_3 = 6$, $k_2 + k_4 = 6$, и $S/2 = 12/2 = 6$, условие $k_1 + k_3 = S/2$ и $k_2 + k_4 = S/2$ выполняется.

Ответ: Да, можно.