Номер 310, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

310. Найдите углы параллелограмма со сторонами a, b и диагональю d, если:
а) $d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$;
б) квадрат его диагонали равен неполному квадрату разности двух его соседних сторон.

а) Дано

Параллелограмм со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.

Дано соотношение: $d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$.

Перевод в СИ

В данной задаче нет конкретных числовых значений и единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Углы параллелограмма.

Решение

Пусть $\alpha$ — один из углов параллелограмма (например, угол между сторонами $a$ и $b$). Тогда смежный с ним угол будет $180^\circ - \alpha$.

По теореме косинусов, квадрат диагонали $d$, лежащей напротив угла $\alpha$, выражается как:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

По условию задачи, нам дано другое выражение для $d^2$:

$d^2 = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$

Приравняем эти два выражения для $d^2$:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = a^2 + b^2 + \sqrt{3} ab$

Вычтем $a^2 + b^2$ из обеих частей уравнения:

$-2ab \cos(\alpha) = \sqrt{3} ab$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон параллелограмма, они строго положительны ($a > 0$, $b > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3} ab}{-2ab}$

$\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение косинуса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует углу $150^\circ$.

Таким образом, один из углов параллелограмма $\alpha = 150^\circ$.

Смежный угол $\beta$ (второй угол параллелограмма) равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

Углы параллелограмма попарно равны.

Ответ: Углы параллелограмма $30^\circ$ и $150^\circ$.

б) Дано

Параллелограмм со сторонами $a$, $b$ и диагональю $d$.

Квадрат его диагонали равен непольному квадрату разности двух его соседних сторон.

Неполный квадрат разности чисел $x$ и $y$ имеет вид $x^2 - xy + y^2$. В данном случае это $a^2 - ab + b^2$.

Значит, $d^2 = a^2 - ab + b^2$.

Перевод в СИ

В данной задаче нет конкретных числовых значений и единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Углы параллелограмма.

Решение

Пусть $\alpha$ — один из углов параллелограмма (например, угол между сторонами $a$ и $b$). Тогда смежный с ним угол будет $180^\circ - \alpha$.

По теореме косинусов, квадрат диагонали $d$, лежащей напротив угла $\alpha$, выражается как:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

По условию задачи, нам дано другое выражение для $d^2$:

$d^2 = a^2 - ab + b^2$

Приравняем эти два выражения для $d^2$:

$a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = a^2 - ab + b^2$

Вычтем $a^2 + b^2$ из обеих частей уравнения:

$-2ab \cos(\alpha) = -ab$

Так как $a$ и $b$ являются длинами сторон параллелограмма, они строго положительны ($a > 0$, $b > 0$). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $-2ab$:

$\cos(\alpha) = \frac{-ab}{-2ab}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

Значение косинуса $\frac{1}{2}$ соответствует углу $60^\circ$.

Таким образом, один из углов параллелограмма $\alpha = 60^\circ$.

Смежный угол $\beta$ (второй угол параллелограмма) равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Углы параллелограмма попарно равны.

Ответ: Углы параллелограмма $60^\circ$ и $120^\circ$.