Номер 2, страница 235 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите площадь заштрихованной фигуры:

1)

$R_1 = 5, R_2 = 2; S - ? $

2)

$R_1 = 4, R_2 = 3; S - ? $

3)

$R = 5; S - ? $

4)

$R = 3; S - ? $

5)

$R_1 = R_2 = 1; S - ? $

6)

$R_1 = R_2 = 2; S - ? $

7)

$R = 4; S - ? $

8)

$R = 4; S - ? $

9)

$a = 6, b = 8; S - ? $

10)

$\Delta ABC - правильный, AB = 2\sqrt{3}; S - ? $

1)

Дано:
Радиус внешней окружности $R_1 = 5$
Радиус внутренней окружности $R_2 = 2$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой кольцо. Площадь кольца находится как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

Площадь внешнего круга: $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (5)^2 = 25\pi$

Площадь внутреннего круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_1 - S_2 = 25\pi - 4\pi = 21\pi$

Ответ: $S = 21\pi$

2)

Дано:
Радиус внешней окружности $R_1 = 4$
Радиус внутренней окружности $R_2 = 3$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой кольцо. Площадь кольца находится как разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

Площадь внешнего круга: $S_1 = \pi R_1^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$

Площадь внутреннего круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (3)^2 = 9\pi$

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_1 - S_2 = 16\pi - 9\pi = 7\pi$

Ответ: $S = 7\pi$

3)

Дано:
Радиус круга $R = 5$
Угол незаштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой сектор круга. Если незаштрихованный сектор имеет угол $120^\circ$, то заштрихованный сектор имеет угол $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Площадь заштрихованного сектора: $S = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \pi (5)^2 = \frac{2}{3} \pi (25) = \frac{50\pi}{3}$

Ответ: $S = \frac{50\pi}{3}$

4)

Дано:
Радиус круга $R = 3$
Угол заштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой сектор круга с углом $120^\circ$.

Площадь заштрихованного сектора: $S = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi (3)^2 = \frac{1}{3} \pi (9) = 3\pi$

Ответ: $S = 3\pi$

5)

Дано:
Длина прямоугольника $L = 5$
Радиусы вырезанных полукругов $R_1 = R_2 = 1$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура получена из прямоугольника путем вырезания двух полукругов по бокам.

Ширина прямоугольника равна двум радиусам полукругов: $W = 2R = 2 \times 1 = 2$.

Площадь прямоугольника: $S_{прямоугольника} = L \times W = 5 \times 2 = 10$.

Два вырезанных полукруга образуют один полный круг радиусом $R=1$.

Площадь вырезанного круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (1)^2 = \pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{прямоугольника} - S_{круга} = 10 - \pi$.

Ответ: $S = 10 - \pi$

6)

Дано:
Длина прямоугольной части фигуры $L_{rect} = 6$
Радиусы полукругов на концах $R_1 = R_2 = 2$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура состоит из прямоугольника и двух полукругов по его коротким сторонам.

Ширина прямоугольника равна двум радиусам полукругов: $W = 2R = 2 \times 2 = 4$.

Площадь прямоугольной части: $S_{прямоугольника} = L_{rect} \times W = 6 \times 4 = 24$.

Два полукруга образуют один полный круг радиусом $R=2$.

Площадь круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{прямоугольника} + S_{круга} = 24 + 4\pi$.

Ответ: $S = 24 + 4\pi$

7)

Дано:
Радиус круга $R = 4$
Угол незаштрихованного сектора $\alpha = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой часть круга, полученную путем удаления сектора с углом $120^\circ$. Треугольник с прямым углом, изображенный внутри заштрихованной области, является частью этой области и не изменяет ее расчетной площади.

Угол заштрихованного сектора: $\beta = 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = \frac{\beta}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \pi (4)^2 = \frac{2}{3} \pi (16) = \frac{32\pi}{3}$.

Ответ: $S = \frac{32\pi}{3}$

8)

Дано:
Радиус круга $R = 4$
Угол сектора $AOB = 120^\circ$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой круговой сегмент, который является частью сектора $AOB$ за вычетом треугольника $AOB$.

Площадь сектора $AOB$: $S_{сектора} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi (4)^2 = \frac{16\pi}{3}$.

Площадь треугольника $AOB$ (равнобедренный треугольник с углом $120^\circ$ между двумя сторонами $R$): $S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ)$.

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{треугольника} = \frac{1}{2} (4)^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} (16) \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Площадь заштрихованной фигуры (кругового сегмента): $S = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $S = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$

9)

Дано:
Катеты прямоугольного треугольника $a = 6$, $b = 8$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой прямоугольный треугольник, из которого вырезан вписанный круг.

Площадь прямоугольного треугольника: $S_{треугольника} = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$.

Найдем гипотенузу $c$ прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности: $r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Площадь вписанного круга: $S_{круга} = \pi r^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{треугольника} - S_{круга} = 24 - 4\pi$.

Ответ: $S = 24 - 4\pi$

10)

Дано:
Сторона правильного треугольника $AB = 2\sqrt{3}$

Единицы измерения не указаны, расчет ведется в условных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:
Площадь заштрихованной фигуры $S$

Решение:
Заштрихованная фигура представляет собой круг, из которого вырезан вписанный правильный (равносторонний) треугольник.

Пусть сторона правильного треугольника $a = 2\sqrt{3}$.

Площадь правильного треугольника: $S_{треугольника} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 = 3\sqrt{3}$.

Радиус $R$ описанной вокруг правильного треугольника окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2$.

Площадь описанного круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$.

Площадь заштрихованной фигуры: $S = S_{круга} - S_{треугольника} = 4\pi - 3\sqrt{3}$.

Ответ: $S = 4\pi - 3\sqrt{3}$