Номер 7, страница 238 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Найдите площадь заштрихованной части фигуры:

$\triangle ABC$ – правильный, $AB = 4$;

$S - ?$

$ABCD$ – квадрат, $R = 8$;

$S - ?$

$ABCD$ – ромб, $\angle B = 60^\circ$, $AC = 6$;

$S - ?$

$R = 10$, $\sim AB = 60^\circ$;

$S - ?$

1. Верхний левый рисунок

Дано:

Равносторонний треугольник $\triangle ABC$, вписанный в окружность.

Длина стороны треугольника $AB = 4$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади вписанного равностороннего треугольника. Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус $R$ описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

В данном случае $a = 4$, поэтому $R = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

2. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \frac{16}{3}$.

3. Площадь равностороннего треугольника $S_{треугольник}$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $S_{треугольник} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{треугольник} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{треугольник}$.

$S_{заштрихованная} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

2. Верхний правый рисунок

Дано:

Квадрат $ABCD$, вписанный в окружность.

Радиус описанной окружности $R = 8$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади вписанного квадрата. Для квадрата, вписанного в окружность, диагональ квадрата $d$ равна диаметру окружности $2R$.

$d = 2R = 2 \times 8 = 16$.

2. Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю соотношением $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Площадь квадрата $S_{квадрат} = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2}$.

$S_{квадрат} = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$.

3. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi (8^2) = 64\pi$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{квадрат}$.

$S_{заштрихованная} = 64\pi - 128$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = 64\pi - 128$.

3. Нижний левый рисунок

Дано:

Ромб $ABCD$.

Угол ромба $\angle B = 60^\circ$.

Длина диагонали $AC = 6$ (условные единицы длины).

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь ромба за вычетом площади вписанной окружности. В ромбе все стороны равны. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB=BC$ (стороны ромба) и $\angle B = 60^\circ$, то $\triangle ABC$ является равносторонним треугольником.

Следовательно, сторона ромба $a = AC = 6$.

2. Площадь ромба $S_{ромб}$ вычисляется по формуле $S_{ромб} = a^2 \sin(\angle B)$.

$S_{ромб} = 6^2 \sin(60^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$.

3. Радиус $r$ вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба $h$. Высота ромба $h = a \sin(\angle B)$.

$h = 6 \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Радиус вписанной окружности $r = \frac{h}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

4. Площадь вписанной окружности $S_{круг} = \pi r^2$.

$S_{круг} = \pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \pi \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27\pi}{4}$.

5. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{ромб} - S_{круг}$.

$S_{заштрихованная} = 18\sqrt{3} - \frac{27\pi}{4}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = 18\sqrt{3} - \frac{27\pi}{4}$.

4. Нижний правый рисунок

Дано:

Круг.

Радиус круга $R = 10$ (условные единицы длины).

Угол незаштрихованного сектора (указанный как $60^\circ$ внутри фигуры "V") $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная}$.

Решение:

1. Заштрихованная часть представляет собой площадь круга за вычетом площади незаштрихованного сектора. Принимая $60^\circ$ за центральный угол незаштрихованного сектора.

2. Площадь круга $S_{круг} = \pi R^2$.

$S_{круг} = \pi (10^2) = 100\pi$.

3. Площадь незаштрихованного сектора $S_{сектор}$ вычисляется по формуле $S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2$, где $\alpha$ - центральный угол сектора.

$S_{сектор} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi (10^2) = \frac{1}{6} \cdot 100\pi = \frac{50\pi}{3}$.

4. Площадь заштрихованной части $S_{заштрихованная} = S_{круг} - S_{сектор}$.

$S_{заштрихованная} = 100\pi - \frac{50\pi}{3} = \frac{300\pi - 50\pi}{3} = \frac{250\pi}{3}$.

Ответ: $S_{заштрихованная} = \frac{250\pi}{3}$.