Номер 6, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол между ними — $30^\circ$. Найдите:

1) большую диагональ параллелограмма;

2) площадь параллелограмма.

2. В треугольнике $ABC$ $AC = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$. Найдите угол $B$.

3. Около правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 8 см описана окружность с центром $O$.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу $ACE$.

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны $CD$ при повороте вокруг центра $O$ против часовой стрелки на угол $120^\circ$?

4. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; 5)$, $B (-1; -1)$, $C (-7; -5)$ и $D (-3; 1)$ является ромбом.

5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 36$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-4; 1)$.

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если векторы $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 5\vec{b}$ перпендикулярны, $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$.

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Две стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см, а угол между ними — $30^\circ$. Найдите:

1) большую диагональ параллелограмма;

2) площадь параллелограмма.

2. В треугольнике ABC $AC = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$. Найдите угол B.

3. Около правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 8 см описана окружность с центром O.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу ACE.

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны CD при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол $120^\circ$?

4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (3; 5)$, $B (-1; -1)$, $C (-7; -5)$ и $D (-3; 1)$ является ромбом.

5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 36$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 1)$.

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если векторы $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 5\vec{b}$ перпендикулярны, $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 3$.

1) большую диагональ параллелограмма;

Пусть стороны параллелограмма равны $a = 3$ см и $b = 5$ см, а острый угол между ними равен $30°$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$, поэтому тупой угол равен $180° - 30° = 150°$. Большая диагональ параллелограмма лежит напротив большего (тупого) угла. Для её нахождения воспользуемся теоремой косинусов:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(150°)$

Мы знаем, что $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$d^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 9 + 25 + 15\sqrt{3} = 34 + 15\sqrt{3}$.

Следовательно, длина большей диагонали $d = \sqrt{34 + 15\sqrt{3}}$ см.

Ответ: $\sqrt{34 + 15\sqrt{3}}$ см.

2) площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = ab \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.

$S = 3 \cdot 5 \cdot \sin(30°) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5$ см$^2$.

Ответ: $7.5$ см$^2$.

В треугольнике $ABC$ даны стороны $AC = 6\sqrt{2}$ см, $BC = 6$ см и угол $\angle A = 30°$. Для нахождения угла $B$ применим теорему синусов:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставим известные значения:

$\frac{6}{\sin(30°)} = \frac{6\sqrt{2}}{\sin(\angle B)}$

Выразим $\sin(\angle B)$:

$\sin(\angle B) = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sin(30°)}{6} = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение для угла в треугольнике ($0° < \angle B < 180°$) имеет два решения:

1) $\angle B = 45°$. Тогда третий угол $\angle C = 180° - (30° + 45°) = 105°$. Такой треугольник существует.

2) $\angle B = 135°$. Тогда третий угол $\angle C = 180° - (30° + 135°) = 15°$. Такой треугольник также существует.

Поскольку в условии задачи нет дополнительной информации, которая позволила бы выбрать одно из решений, следует указать обе возможности.

Ответ: $45°$ или $135°$.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу ACE.

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность с центром $O$. Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности, поэтому радиус $R = 8$ см. Центральный угол, опирающийся на одну сторону шестиугольника, равен $360°/6 = 60°$.

Дуга $ACE$ состоит из дуг $AB, BC, CD, DE$. Таким образом, центральный угол, соответствующий дуге $ACE$, равен $\angle AOE = 4 \cdot 60° = 240°$.

Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360°} \cdot \alpha$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 8^2}{360°} \cdot 240° = \frac{64\pi \cdot 240}{360} = \frac{64\pi \cdot 2}{3} = \frac{128\pi}{3}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{128\pi}{3}$ см$^2$.

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны CD при повороте вокруг центра O против часовой стрелки на угол 120°?

Поворот на $120°$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ переводит каждую вершину шестиугольника на $120°/60° = 2$ позиции вперёд в последовательности вершин $A, B, C, D, E, F$.

Вершина $C$ перейдёт в вершину $E$ (через одну вершину: $C \to D \to E$).

Вершина $D$ перейдёт в вершину $F$ (через одну вершину: $D \to E \to F$).

Следовательно, отрезок $CD$ перейдёт в отрезок $EF$.

Ответ: отрезок $EF$.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(3; 5)$, $B(-1; -1)$, $C(-7; -5)$ и $D(-3; 1)$ является ромбом, необходимо проверить равенство длин всех его сторон. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$AB = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

$BC = \sqrt{(-7 - (-1))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.

$CD = \sqrt{(-3 - (-7))^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

$DA = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{52}$, все стороны четырёхугольника равны. По определению, четырёхугольник с равными сторонами является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как все стороны четырехугольника равны $\sqrt{52}$.

Уравнение исходной окружности $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 36$. Это окружность с центром в точке $C_1(2; -6)$ и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-4; 1)$ каждая точка $(x; y)$ переходит в точку $(x'; y')$, где $x' = x - 4$ и $y' = y + 1$. Центр окружности $C_1$ перейдёт в новый центр $C_2$.

Координаты нового центра $C_2(x_2; y_2)$:

$x_2 = 2 + (-4) = -2$

$y_2 = -6 + 1 = -5$

Таким образом, новый центр находится в точке $C_2(-2; -5)$. Параллельный перенос является движением, поэтому он сохраняет расстояния. Радиус окружности не изменится: $R' = R = 6$.

Уравнение новой окружности имеет вид $(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (R')^2$.

Подставив координаты нового центра и радиус, получаем:

$(x - (-2))^2 + (y - (-5))^2 = 6^2$

$(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 36$.

Дано, что векторы $\vec{m} = 3\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{n} = \vec{a} + 5\vec{b}$ перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух векторов — равенство их скалярного произведения нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$3\vec{a} \cdot \vec{a} + 3\vec{a} \cdot 5\vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot 5\vec{b} = 0$

$3|\vec{a}|^2 + 15(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 0$

$3|\vec{a}|^2 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 = 0$

Подставим известные значения $|\vec{a}| = 5$ и $|\vec{b}| = 3$:

$3 \cdot 5^2 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5 \cdot 3^2 = 0$

$3 \cdot 25 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5 \cdot 9 = 0$

$75 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 45 = 0$

$30 + 14(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$14(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -30$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{30}{14} = -\frac{15}{7}$

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos\theta = \frac{-15/7}{5 \cdot 3} = \frac{-15/7}{15} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}$.