Номер 5, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (-3; 4)$ и $B (0; 5)$ относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте образ треугольника $ABC$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$; 2) при симметрии относительно точки $A$; 3) при симметрии относительно прямой $AB$.

3. Точка $A_1 (8; y)$ является образом точки $A (x; -3)$ при гомотетии с центром $H (2; 1)$ и коэффициентом $k = -4$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 2 : 5$, а площадь треугольника $BMC$ равна $12\text{ см}^2$.

5. Из точек $A$ и $C$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ на эту прямую. $AA_1 = 7$ см, $CC_1 = 1$ см, $A_1C_1 = 6$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $AX + XC$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (-3; 4)$ и $B (0; 5)$ относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте образ треугольника $ABC$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$; 2) при симметрии относительно точки $A$; 3) при симметрии относительно прямой $AB$.

3. Точка $A_1 (8; y)$ является образом точки $A (x; -3)$ при гомотетии с центром $H (2; 1)$ и коэффициентом $k = -4$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 2 : 5$, а площадь треугольника $BMC$ равна $12 \text{ см}^2$.

5. Из точек $A$ и $C$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ на эту прямую. $AA_1 = 7 \text{ см}$, $CC_1 = 1 \text{ см}$, $A_1C_1 = 6 \text{ см}$. Какое наименьшее значение может принимать сумма $AX + XC$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

1.

1) Симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox)

При симметрии относительно оси абсцисс координата $y$ меняет знак на противоположный, а координата $x$ остается без изменений. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(x; -y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_1$ будет иметь координаты $(-3; -4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_1$ будет иметь координаты $(0; -5)$.

2) Симметрия относительно оси ординат (оси Oy)

При симметрии относительно оси ординат координата $x$ меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается без изменений. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_2$ будет иметь координаты $(-(-3); 4)$, то есть $(3; 4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_2$ будет иметь координаты $(-0; 5)$, то есть $(0; 5)$. Точка $B$ лежит на оси ординат, поэтому она отображается на саму себя.

3) Симметрия относительно начала координат

При симметрии относительно начала координат обе координаты, $x$ и $y$, меняют знак на противоположный. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; -y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_3$ будет иметь координаты $(-(-3); -4)$, то есть $(3; -4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_3$ будет иметь координаты $(-0; -5)$, то есть $(0; -5)$.

Ответ: 1) $A_1(-3; -4)$, $B_1(0; -5)$; 2) $A_2(3; 4)$, $B_2(0; 5)$; 3) $A_3(3; -4)$, $B_3(0; -5)$.

2.

Для выполнения построений зададим произвольный треугольник $ABC$.

1) Построение образа треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что $\vec{MM'} = \vec{v}$. В нашем случае $\vec{v} = \vec{BC}$.

- Точка $B$ переходит в точку $C$, так как $\vec{BC} = \vec{BC}$. Обозначим образ $B'$, тогда $B' = C$.

- Точка $C$ переходит в точку $C'$ так, что $\vec{CC'} = \vec{BC}$. Чтобы построить точку $C'$, нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. В результате четырехугольник $BCC'B$ (где вторая B - это начальное положение) является параллелограммом.

- Точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что $\vec{AA'} = \vec{BC}$. Это означает, что четырехугольник $ABCA'$ является параллелограммом.

Соединив точки $A'$, $B'$ (которая совпадает с $C$) и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $A'CC'$), который является образом треугольника $ABC$.

2) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно точки $A$.

При симметрии относительно центра $A$ каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что $A$ является серединой отрезка $MM'$.

- Точка $A$ является центром симметрии, поэтому она отображается на саму себя. Образ $A'$ совпадает с $A$.

- Точка $B$ переходит в точку $B'$. Для ее построения нужно провести луч $BA$ и отложить на нем за точкой $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$.

- Точка $C$ переходит в точку $C'$. Для ее построения нужно провести луч $CA$ и отложить на нем за точкой $A$ отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $AB'C'$).

3) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно прямой $AB$.

При симметрии относительно прямой $AB$ каждая точка, лежащая на этой прямой, отображается на саму себя.

- Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии $AB$, поэтому их образы $A'$ и $B'$ совпадают с ними: $A' = A$, $B' = B$.

- Для построения образа точки $C$, точки $C'$, нужно провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Пусть $H$ - точка их пересечения. На продолжении отрезка $CH$ за точку $H$ нужно отложить отрезок $HC'$, равный $CH$. Точка $C'$ будет образом точки $C$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $ABC'$), который симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой $AB$.

Ответ: Построения выполняются согласно описанным выше алгоритмам.

3.

Гомотетия точки $A(x_A; y_A)$ относительно центра $H(x_H; y_H)$ с коэффициентом $k$ переводит ее в точку $A_1(x_1; y_1)$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x_1 = x_H + k \cdot (x_A - x_H)$

$y_1 = y_H + k \cdot (y_A - y_H)$

По условию дано:

Точка $A(x; -3)$, то есть $x_A = x, y_A = -3$.

Образ точки, $A_1(8; y)$, то есть $x_1 = 8, y_1 = y$.

Центр гомотетии $H(2; 1)$, то есть $x_H = 2, y_H = 1$.

Коэффициент гомотетии $k = -4$.

Подставим известные значения в формулы и найдем $x$ и $y$.

Для координаты $x$:

$8 = 2 + (-4) \cdot (x - 2)$

$8 = 2 - 4x + 8$

$8 = 10 - 4x$

$4x = 10 - 8$

$4x = 2$

$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Для координаты $y$:

$y = 1 + (-4) \cdot (-3 - 1)$

$y = 1 + (-4) \cdot (-4)$

$y = 1 + 16$

$y = 17$

Ответ: $x = 0.5, y = 17$.

4.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$.

Поскольку $ABCD$ - трапеция, ее основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.

Углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$.

Следовательно, треугольник $\triangle BMC$ подобен треугольнику $\triangle AMD$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMC}}{S_{AMD}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$

По условию, площадь треугольника $BMC$ равна 12 см², то есть $S_{BMC} = 12$. Найдем площадь треугольника $AMD$:

$\frac{12}{S_{AMD}} = \frac{4}{25}$

$S_{AMD} = \frac{12 \cdot 25}{4} = 3 \cdot 25 = 75$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей треугольников $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$:

$S_{ABCD} = S_{AMD} - S_{BMC} = 75 - 12 = 63$ см².

Ответ: 63 см².

5.

Для нахождения наименьшего значения суммы $AX + XC$, где точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $m$, а точка $X$ лежит на прямой $m$, используем метод симметрии.

Отразим одну из точек, например $C$, симметрично относительно прямой $m$. Получим точку $C'$. По определению осевой симметрии, для любой точки $X$ на прямой $m$ будет выполняться равенство $XC = XC'$.

Тогда сумма $AX + XC$ равна сумме $AX + XC'$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки $A, X, C'$ лежат на одной прямой. В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка $AC'$.

Для нахождения длины $AC'$ построим прямоугольный треугольник. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $A_1C_1$, и через точку $C'$ — прямую, перпендикулярную ей. Пусть они пересекутся в точке $P$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle AC'P$.

Катеты этого треугольника:

1. Горизонтальный катет $AP$ равен расстоянию $A_1C_1$, то есть $AP = 6$ см.

2. Вертикальный катет $PC'$ равен сумме длин перпендикуляров $AA_1$ и $C_1C'$ (который равен $CC_1$). То есть $PC' = AA_1 + CC_1 = 7 + 1 = 8$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC'$:

$AC' = \sqrt{AP^2 + (PC')^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, наименьшее значение суммы $AX + XC$ равно 10 см.

Ответ: 10 см.