Номер 4, страница 103 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите:

1) координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

2) модули векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

3) координаты вектора $\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA}$;

4) скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

5) косинус угла между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$;

2) $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$;

3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.

3. Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. При каком значении $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что $AF : FB = 1 : 4$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите:

1) координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

2) модули векторов $|\vec{AB}|$ и $|\vec{CA}|$;

3) координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\vec{AC} + \vec{CB}$;

2) $\vec{BC} - \vec{BA}$;

3) $\vec{AB} + \vec{AC}$.

3. Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. При каком значении k векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что AF : FB = 1 : 4, BE : EC = 1 : 3. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

1) координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Координаты вектора, заданного начальной точкой $M(x_1; y_1)$ и конечной точкой $N(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{MN} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
Даны точки $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$.
Для вектора $\vec{AB}$:
$x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
$y = -1 - 3 = -4$
Таким образом, $\vec{AB} = (3; -4)$.
Для вектора $\vec{CA}$:
$x = -2 - 2 = -4$
$y = 3 - 4 = -1$
Таким образом, $\vec{CA} = (-4; -1)$.
Ответ: $\vec{AB}(3; -4)$, $\vec{CA}(-4; -1)$.

2) модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Для вектора $\vec{AB}(3; -4)$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Для вектора $\vec{CA}(-4; -1)$:
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Ответ: $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$.

3) координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$
Для нахождения координат вектора $\vec{MN}$, нужно выполнить операции умножения векторов на скаляр и вычитания векторов.
Найдем координаты векторов $3\vec{AB}$ и $2\vec{CA}$:
$3\vec{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$.
$2\vec{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$.
Теперь вычтем из координат первого вектора координаты второго:
$\vec{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$.
Ответ: $\vec{MN}(17; -10)$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.
Для векторов $\vec{AB}(3; -4)$ и $\vec{CA}(-4; -1)$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$.
Ответ: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$.

5) косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Мы уже нашли скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$ и модули векторов $|\vec{AB}| = 5$ и $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$.
Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{CA}}) = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{8 \cdot \sqrt{17}}{5\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.
Ответ: $\cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{CA}}) = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.

1) $\vec{AC} + \vec{CB}$
Согласно правилу треугольника для сложения векторов, если начало второго вектора ($\vec{CB}$) совпадает с концом первого вектора ($\vec{AC}$), то сумма этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом первого (точка A), а конец — с концом второго (точка B). Таким образом, $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.
Ответ: $\vec{AB}$.

2) $\vec{BC} - \vec{BA}$
Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ можно представить как сумму $\vec{u} + (-\vec{v})$. Вектор $-\vec{BA}$ равен вектору $\vec{AB}$.
Следовательно, $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{BC} + \vec{AB}$. По правилу треугольника (после перестановки слагаемых) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Альтернативно, для векторов, выходящих из одной точки (B), их разность $\vec{BC} - \vec{BA}$ есть вектор, соединяющий конец вычитаемого (A) с концом уменьшаемого (C). Таким образом, результатом является вектор $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.

3) $\vec{AB} + \vec{AC}$
Для сложения двух векторов, выходящих из одной точки (A), используется правило параллелограмма. На векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ как на сторонах строится параллелограмм $ABDC$. Суммой векторов является вектор диагонали этого параллелограмма, выходящий из их общего начала. Таким образом, $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$.
Ответ: Вектор $\vec{AD}$, где $D$ — вершина параллелограмма $ABDC$.

1) коллинеарны
Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.
Для векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$:
$\frac{2}{-3} = \frac{6}{k}$.
Из пропорции находим $k$:
$2 \cdot k = 6 \cdot (-3)$
$2k = -18$
$k = -9$.
Ответ: $k = -9$.

2) перпендикулярны
Два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Для векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0$.
$-6 + 6k = 0$
$6k = 6$
$k = 1$.
Ответ: $k = 1$.

Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Для выражения вектора $\vec{EF}$ воспользуемся правилом ломаной линии: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$.
Точка $E$ лежит на стороне $BC$ так, что $BE : EC = 1 : 3$. Это значит, что вектор $\vec{BE}$ составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от вектора $\vec{BC}$.
$\vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$. Тогда $\vec{EB} = -\vec{BE} = -\frac{1}{4}\vec{b}$.
Точка $F$ лежит на стороне $AB$ так, что $AF : FB = 1 : 4$. Это значит, что отрезок $FB$ составляет $\frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$ от отрезка $AB$. Вектор $\vec{BF}$ направлен от $B$ к $F$, то есть в сторону, противоположную вектору $\vec{AB}$.
$\vec{BF} = -\frac{4}{5}\vec{AB} = -\frac{4}{5}\vec{a}$.
Теперь сложим векторы:
$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{EF} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) - \vec{n} \cdot \vec{m} + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{m})$.
Используя свойства скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ и $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{n}|^2 + 5(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 2|\vec{m}|^2$.
По условию $\vec{m} \perp \vec{n}$, значит их скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{m} = 0$. Также $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1)^2 + 5(0) - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1$.
Найдем модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (\vec{n} + 2\vec{m}) = |\vec{n}|^2 + 4(\vec{n} \cdot \vec{m}) + 4|\vec{m}|^2 = 1^2 + 4(0) + 4(1)^2 = 1 + 4 = 5$. Значит, $|\vec{a}| = \sqrt{5}$.
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (3\vec{n} - \vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 9|\vec{n}|^2 - 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) + |\vec{m}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + 1^2 = 9 + 1 = 10$. Значит, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$.
Теперь найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.