Номер 3, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $DF$ и координаты его середины, если $D (4; -5)$ и $F (-3; -1)$.

2. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точку $P (-2; -5)$ и центр которой находится в точке $E (1; -3)$.

3. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; -2)$, $B (4; 7)$, $D (-2; -5)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M (-2; -2)$ и $N (2; 10)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $C (2; -1)$ и $D (-4; 5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $DF$ и координаты его середины, если $D (4; -5)$ и $F (-3; -1)$.

2. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точку $P (-2; -5)$ и центр которой находится в точке $E (1; -3)$.

3. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; -2)$, $B (4; 7)$, $D (-2; -5)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M (-2; -2)$ и $N (2; 10)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $C (2; -1)$ и $D (-4; 5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x_2 + y_2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

1.

Для нахождения длины отрезка $DF$ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $D(x_1; y_1)$ и $F(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $D(4; -5)$ и $F(-3; -1)$:

$DF = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$

Для нахождения координат середины отрезка $M(x_m; y_m)$ воспользуемся формулами:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек $D$ и $F$:

$x_m = \frac{4 + (-3)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_m = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Координаты середины отрезка: $(0.5; -3)$.

Ответ: Длина отрезка $DF = \sqrt{65}$, координаты середины $(0.5; -3)$.

2.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Центр окружности находится в точке $E(1; -3)$, следовательно, $a=1$ и $b=-3$.

Радиус $R$ — это расстояние от центра $E$ до точки $P(-2; -5)$, лежащей на окружности. Найдем квадрат радиуса $R^2$ по формуле квадрата расстояния:

$R^2 = (x_P - a)^2 + (y_P - b)^2$

$R^2 = (-2 - 1)^2 + (-5 - (-3))^2 = (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$

Теперь подставим координаты центра и значение $R^2$ в уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 13$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$.

3.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это значит, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты вершины $C$ равны $(x_C; y_C)$.

Найдем координаты середины диагонали $BD$, используя точки $B(4; 7)$ и $D(-2; -5)$:

$x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Координаты точки пересечения диагоналей: $M(1; 1)$.

Теперь запишем формулы для координат середины диагонали $AC$, используя точки $A(-3; -2)$ и $C(x_C; y_C)$, и приравняем их к координатам точки $M$:

$\frac{-3 + x_C}{2} = 1 \implies -3 + x_C = 2 \implies x_C = 5$

$\frac{-2 + y_C}{2} = 1 \implies -2 + y_C = 2 \implies y_C = 4$

Координаты вершины $C$ равны $(5; 4)$.

Ответ: $C(5; 4)$.

4.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $M(-2; -2)$ и $N(2; 10)$:

$\frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{10 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{4} = \frac{y + 2}{12}$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$3(x + 2) = y + 2$

$3x + 6 = y + 2$

$y = 3x + 4$

Ответ: $y = 3x + 4$.

5.

Точка, принадлежащая оси ординат (оси $y$), имеет координату $x=0$. Обозначим эту точку как $P(0; y)$.

Эта точка равноудалена от точек $C(2; -1)$ и $D(-4; 5)$, что означает, что расстояние $PC$ равно расстоянию $PD$. Удобнее работать с квадратами расстояний: $PC^2 = PD^2$.

Найдем квадраты расстояний:

$PC^2 = (2 - 0)^2 + (-1 - y)^2 = 4 + (-1 - y)^2 = 4 + 1 + 2y + y^2 = 5 + 2y + y^2$

$PD^2 = (-4 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 16 + (5 - y)^2 = 16 + 25 - 10y + y^2 = 41 - 10y + y^2$

Приравняем выражения:

$5 + 2y + y^2 = 41 - 10y + y^2$

$5 + 2y = 41 - 10y$

$12y = 36$

$y = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

6.

Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Искомая прямая параллельна прямой $y = 5x - 9$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, следовательно, $k=5$. Уравнение искомой прямой имеет вид $y = 5x + b$.

Найдем центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$. Для этого приведем уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 6 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Координаты центра окружности: $(3; -1)$.

Искомая прямая $y = 5x + b$ проходит через эту точку. Подставим координаты центра в уравнение прямой, чтобы найти $b$:

$-1 = 5 \cdot 3 + b$

$-1 = 15 + b$

$b = -16$

Уравнение искомой прямой: $y = 5x - 16$.

Ответ: $y = 5x - 16$.