Номер 3, страница 102 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $AB$ и координаты его середины, если $A (-3; 2)$ и $B (1; -5)$.

2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке $M (1; -3)$ и которая проходит через точку $K (-4; 2)$.

3. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-2; 3)$, $B (4; 5)$, $C (2; 1)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $K (3; -2)$ и $P (5; 2)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек $A (-2; 3)$ и $B (6; 1)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = -3x + 10$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$.

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $AB$ и координаты его середины, если $A(-3; 2)$ и $B(1; -5)$.

2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке $M(1; -3)$ и которая проходит через точку $K(-4; 2)$.

3. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A(-2; 3)$, $B(4; 5)$, $C(2; 1)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $K(3; -2)$ и $P(5; 2)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек $A(-2; 3)$ и $B(6; 1)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = -3x + 10$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$.

1.

Длина отрезка AB находится по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Для точек $A(-3; 2)$ и $B(1; -5)$ имеем:

$AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$.

Координаты середины отрезка $C(x_c; y_c)$ находятся по формулам $x_c = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_c = \frac{y_A + y_B}{2}$.

$x_c = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_c = \frac{2 + (-5)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

Таким образом, координаты середины отрезка AB: $(-1; -1.5)$.

Ответ: длина отрезка AB равна $\sqrt{65}$, координаты середины $(-1; -1.5)$.

2.

Уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Центр окружности находится в точке $M(1; -3)$, следовательно, $a=1$ и $b=-3$. Уравнение принимает вид:

$(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = R^2$ или $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = R^2$.

Радиус окружности $R$ - это расстояние от центра $M$ до точки $K(-4; 2)$, через которую проходит окружность. Найдем квадрат радиуса:

$R^2 = MK^2 = (-4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2 = (-5)^2 + (5)^2 = 25 + 25 = 50$.

Подставляем значение $R^2$ в уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50$.

3.

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, они имеют общую середину. Найдем координаты середины диагонали AC, обозначим ее O.

Координаты середины отрезка AC с концами в точках $A(-2; 3)$ и $C(2; 1)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Точка $O(0; 2)$ также является серединой диагонали BD. Пусть координаты вершины $D(x_D; y_D)$. Тогда для точек $B(4; 5)$ и $D(x_D; y_D)$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{4 + x_D}{2} \Rightarrow 4 + x_D = 0 \Rightarrow x_D = -4$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 2 = \frac{5 + y_D}{2} \Rightarrow 4 = 5 + y_D \Rightarrow y_D = -1$

Следовательно, координаты вершины D равны $(-4; -1)$.

Ответ: $D(-4; -1)$.

4.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $K(3; -2)$ и $P(5; 2)$:

$\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-2)}{2 - (-2)}$

$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:

$2(x - 3) = y + 2$

$2x - 6 = y + 2$

$y = 2x - 8$

Ответ: $y = 2x - 8$.

5.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$. Так как точка $C$ принадлежит оси абсцисс, ее ордината равна нулю, то есть $y=0$. Координаты точки $C(x; 0)$.

По условию, точка $C$ равноудалена от точек $A(-2; 3)$ и $B(6; 1)$, это означает, что расстояние $AC$ равно расстоянию $BC$, или, что эквивалентно, $AC^2 = BC^2$.

Найдем квадраты расстояний:

$AC^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2 = (x + 2)^2 + (-3)^2 = x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 + 4x + 13$.

$BC^2 = (x - 6)^2 + (0 - 1)^2 = (x - 6)^2 + (-1)^2 = x^2 - 12x + 36 + 1 = x^2 - 12x + 37$.

Приравняем выражения для $AC^2$ и $BC^2$:

$x^2 + 4x + 13 = x^2 - 12x + 37$

$4x + 12x = 37 - 13$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(1.5; 0)$.

Ответ: $(1.5; 0)$.

6.

Искомая прямая параллельна прямой $y = -3x + 10$. Условие параллельности прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой равен -3, следовательно, уравнение искомой прямой имеет вид $y = -3x + c$.

Найдем центр окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$. Для этого приведем уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра.

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 4y) + 1 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 1 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Из этого уравнения следует, что центр окружности находится в точке с координатами $(-1; 2)$.

Теперь найдем уравнение прямой, которая имеет угловой коэффициент $m = -3$ и проходит через точку $(-1; 2)$. Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом $y - y_0 = m(x - x_0)$:

$y - 2 = -3(x - (-1))$

$y - 2 = -3(x + 1)$

$y - 2 = -3x - 3$

$y = -3x - 1$

Ответ: $y = -3x - 1$.