Номер 1, страница 101 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

1. Две стороны треугольника равны $4$ см и $8$ см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

2. Два угла треугольника равны $30^\circ$ и $135^\circ$, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна $4$ см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами $4$ см, $5$ см и $7$ см.

4. Одна сторона треугольника на $2$ см больше другой, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна $7$ см.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $7$ см, $15$ см и $20$ см.

6. Стороны треугольника равны $7$ см, $11$ см и $12$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

1. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

2. Два угла треугольника равны $30^\circ$ и $135^\circ$, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 4 см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.

4. Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

6. Стороны треугольника равны 7 см, 11 см и 12 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

1.

Даны две стороны треугольника $a = 4$ см, $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60°$.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60°) = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$

$c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади треугольника $S$ воспользуемся формулой:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: третья сторона равна $4\sqrt{3}$ см, площадь равна $8\sqrt{3}$ см².

2.

Даны два угла треугольника $\alpha = 30°$ и $\beta = 135°$. Сторона $a$, лежащая против меньшего угла $\alpha$, равна 4 см. Нужно найти сторону $b$, лежащую против большего угла $\beta$.

Воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Подставим известные значения и выразим $b$:

$b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{4 \cdot \sin(135°)}{\sin(30°)}$

Зная, что $\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$b = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: сторона, лежащая против большего угла, равна $4\sqrt{2}$ см.

3.

Дан треугольник со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), нужно сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Большая сторона $c = 7$ см.

Найдем квадрат большей стороны: $c^2 = 7^2 = 49$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Сравним полученные значения: $49 > 41$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против большей стороны, является тупым. Следовательно, треугольник является тупоугольным.

Ответ: треугольник является тупоугольным.

4.

Пусть одна сторона треугольника равна $x$ см, тогда другая сторона, которая на 2 см больше, равна $(x+2)$ см. Третья сторона равна 7 см, а угол между первыми двумя сторонами равен $120°$.

Обозначим стороны: $a = x$, $b = x+2$, $c = 7$, и угол между $a$ и $b$ равен $\gamma = 120°$.

Применим теорему косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$7^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2)\cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, подставляем это значение в уравнение:

$49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x+2)(-\frac{1}{2})$

$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x(x+2)$

$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$

$49 = 3x^2 + 6x + 4$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -15, а сумма равна -2. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем $x = 3$ см. Тогда вторая сторона равна $x+2 = 3+2 = 5$ см.

Стороны треугольника равны 3 см, 5 см и 7 см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = 3 + 5 + 7 = 15$ см.

Ответ: периметр треугольника равен 15 см.

5.

Дан треугольник со сторонами $a=7$ см, $b=15$ см и $c=20$ см. Нужно найти радиус вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{s}$, где $S$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $s$:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см².

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{s} = \frac{42}{21} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

6.

Даны стороны треугольника $a=7$ см, $b=11$ см и $c=12$ см. Нужно найти медиану, проведенную к его большей стороне.

Большая сторона — $c=12$ см. Обозначим медиану, проведенную к этой стороне, как $m_c$.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Подставим известные значения сторон:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 242 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{340 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{196}$

$m_c = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Ответ: медиана, проведённая к большей стороне, равна 7 см.