Номер 303, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 8 см. Прямая, параллельная стороне $AC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

303. Сторона AC треугольника ABC равна 8 см. Прямая, параллельная стороне AC, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 8$ см. Проведем прямую, параллельную стороне $AC$, которая пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок этой прямой, заключенный между сторонами треугольника, это $MN$.

По условию задачи, эта прямая делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры. Это означает, что площадь малого треугольника $MBN$ равна площади трапеции $AMNC$.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$, а площадь треугольника $MBN$ как $S_{MBN}$. Тогда площадь трапеции $AMNC$ равна $S_{AMNC}$.

По условию, $S_{MBN} = S_{AMNC}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей его частей: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{AMNC}$.

Заменив $S_{AMNC}$ на $S_{MBN}$, получим: $S_{ABC} = S_{MBN} + S_{MBN} = 2 \cdot S_{MBN}$.

Из этого следует, что отношение площадей малого и большого треугольников равно: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MBN \sim \triangle ABC$). Это следует из того, что угол $B$ у них общий, а углы при основаниях $MN$ и $AC$ попарно равны как соответственные.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению их соответственных сторон: $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = \left(\frac{MN}{AC}\right)^2$.

Пусть длина искомого отрезка $MN = x$. Подставим известные значения в это соотношение: $\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{8}\right)^2$.

Решим полученное уравнение: $\frac{x^2}{64} = \frac{1}{2}$ $x^2 = \frac{64}{2}$ $x^2 = 32$ $x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Таким образом, длина отрезка прямой, содержащегося между сторонами треугольника, равна $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.