Номер 298, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

298. Радиус вписанной окружности одного равностороннего треугольника равен стороне другого. Как относятся их площади?

298. Радиус вписанной окружности одного равностороннего треугольника равен стороне другого. Как относятся их площади?

Пусть $a_1$ и $S_1$ — сторона и площадь первого равностороннего треугольника, а $a_2$ и $S_2$ — сторона и площадь второго. Пусть $r_1$ — радиус вписанной окружности первого треугольника.

Согласно условию задачи, радиус вписанной окружности первого треугольника равен стороне второго, что можно записать в виде равенства:
$r_1 = a_2$

Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ следующей формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Применив эту формулу для первого треугольника, мы получим:
$r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}}$

Теперь, используя условие $r_1 = a_2$, мы можем установить связь между сторонами двух треугольников:
$\frac{a_1}{2\sqrt{3}} = a_2$

Из этого соотношения можно выразить отношение сторон треугольников:
$\frac{a_1}{a_2} = 2\sqrt{3}$

Площадь $S$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Найдем отношение площадей первого и второго треугольников, используя их формулы площади:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a_1^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим в полученное выражение найденное ранее отношение сторон $\frac{a_1}{a_2} = 2\sqrt{3}$:
$\frac{S_1}{S_2} = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, площадь треугольника, радиус вписанной окружности которого равен стороне другого, в 12 раз больше площади второго треугольника.

Ответ: Их площади относятся как 12:1.