Номер 291, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Начертите отрезок MN длиной 3 см и отметьте точку O, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку MN, с центром гомотетии в точке O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = -2$;

2) $k = \frac{1}{3}$.

291. Начертите отрезок $MN$ длиной 3 см и отметьте точку $O$, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок $MN$, с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = -2$;

2) $k = \frac{1}{3}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный отрезок $MN$ длиной 3 см и отметим точку $O$, не лежащую на прямой $MN$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $X$ в точку $X'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$. Это означает, что точки $O$, $X$ и $X'$ лежат на одной прямой, а расстояние $OX'$ равно $|k| \cdot OX$. Если $k>0$, точки $X$ и $X'$ лежат по одну сторону от $O$. Если $k<0$, точки $X$ и $X'$ лежат по разные стороны от $O$.

Чтобы построить отрезок, гомотетичный отрезку $MN$, нужно построить образы его концов, точек $M$ и $N$, а затем соединить их.

1) k = -2;

1. Построение образа точки M (точки M'): Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Так как коэффициент гомотетии $k = -2$ отрицательный, точка $M'$ будет лежать на этой прямой по другую сторону от точки $O$, нежели точка $M$. Расстояние от $O$ до $M'$ вычисляется по формуле: $OM' = |k| \cdot OM = |-2| \cdot OM = 2 \cdot OM$. Таким образом, нужно отложить на луче, противоположном лучу $OM$, отрезок $OM'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OM$.

2. Построение образа точки N (точки N'): Аналогично проведем прямую через точки $O$ и $N$. Так как $k = -2$, точка $N'$ будет лежать на этой прямой по другую сторону от $O$. Расстояние от $O$ до $N'$ будет равно: $ON' = |k| \cdot ON = |-2| \cdot ON = 2 \cdot ON$. Откладываем на луче, противоположном лучу $ON$, отрезок $ON'$, в два раза длиннее отрезка $ON$.

3. Построение искомого отрезка M'N': Соединим полученные точки $M'$ и $N'$. Отрезок $M'N'$ и есть искомый отрезок, гомотетичный отрезку $MN$. Его длина будет равна $M'N' = |k| \cdot MN = |-2| \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Построен отрезок $M'N'$, гомотетичный отрезку $MN$. Длина отрезка $M'N'$ равна 6 см.

2) k = 1/3

1. Построение образа точки M (точки M'): Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Так как коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{3}$ положительный, точка $M'$ будет лежать на отрезке $OM$. Расстояние от $O$ до $M'$ вычисляется по формуле: $OM' = |k| \cdot OM = \frac{1}{3} \cdot OM$. Отмечаем точку $M'$ на отрезке $OM$ так, чтобы она делила его в отношении 1:2, считая от точки $O$.

2. Построение образа точки N (точки N'): Аналогично проведем прямую через точки $O$ и $N$. Так как $k = \frac{1}{3} > 0$, точка $N'$ будет лежать на отрезке $ON$. Расстояние от $O$ до $N'$ будет равно: $ON' = |k| \cdot ON = \frac{1}{3} \cdot ON$. Отмечаем точку $N'$ на отрезке $ON$ так, чтобы она делила его в отношении 1:2, считая от точки $O$.

3. Построение искомого отрезка M'N': Соединим полученные точки $M'$ и $N'$. Отрезок $M'N'$ является искомым. Его длина будет равна $M'N' = |k| \cdot MN = \frac{1}{3} \cdot 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Ответ: Построен отрезок $M'N'$, гомотетичный отрезку $MN$. Длина отрезка $M'N'$ равна 1 см.