Номер 293, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

293. Постройте ромб, гомотетичный данному ромбу, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 1.5$

2) $k = -2$

293. Постройте ромб, гомотетичный данному ромбу, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 1,5$

2) $k = -2$

Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'}$ связан с вектором $\vec{OM}$ соотношением $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент гомотетии. Для построения гомотетичного ромба необходимо применить это преобразование к каждой его вершине.

Пусть дан ромб $ABCD$. Центром гомотетии является точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Построение выполняется в несколько шагов. Сначала начертим ромб $ABCD$ и найдем его центр $O$ как точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Затем построим образ $A'$ вершины $A$. Так как коэффициент гомотетии $k = 1,5 > 0$, точка $A'$ будет лежать на луче $OA$ (то есть в том же направлении от $O$, что и $A$). Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ вычисляется по формуле $OA' = k \cdot OA = 1,5 \cdot OA$. Для построения можно продлить отрезок $OA$ за точку $A$ на половину его длины. Аналогично строятся образы остальных вершин: точка $B'$ лежит на луче $OB$ так, что $OB' = 1,5 \cdot OB$; точка $C'$ лежит на луче $OC$ так, что $OC' = 1,5 \cdot OC$; точка $D'$ лежит на луче $OD$ так, что $OD' = 1,5 \cdot OD$. В завершение соединим последовательно точки $A', B', C', D'$, чтобы получить искомый ромб.

Ответ: Полученный ромб $A'B'C'D'$ гомотетичен исходному ромбу $ABCD$ с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом $k=1,5$. Он имеет ту же ориентацию, что и исходный, а его стороны в 1,5 раза длиннее.

Построение выполняется в несколько шагов. Сначала начертим ромб $ABCD$ и найдем его центр $O$ как точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Затем построим образ $A'$ вершины $A$. Так как коэффициент гомотетии $k = -2 < 0$, точка $A'$ будет лежать на луче, противоположном лучу $OA$ (то есть на луче $OC$). Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ вычисляется по формуле $OA' = |k| \cdot OA = |-2| \cdot OA = 2 \cdot OA$. Аналогично строятся образы остальных вершин: точка $B'$ лежит на луче, противоположном лучу $OB$ (на луче $OD$), так, что $OB' = 2 \cdot OB$; точка $C'$ лежит на луче, противоположном лучу $OC$ (на луче $OA$), так, что $OC' = 2 \cdot OC$; точка $D'$ лежит на луче, противоположном лучу $OD$ (на луче $OB$), так, что $OD' = 2 \cdot OD$. В завершение соединим последовательно точки $A', B', C', D'$, чтобы получить искомый ромб.

Ответ: Полученный ромб $A'B'C'D'$ гомотетичен исходному ромбу $ABCD$ с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом $k=-2$. Он повернут на 180 градусов относительно исходного, а его стороны в 2 раза длиннее.