Номер 287, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Проведите луч OC. Постройте образ этого луча при повороте на угол $65^\circ$ по часовой стрелке вокруг:

1) точки P, принадлежащей лучу;

2) точки N, не принадлежащей лучу.

287. Проведите луч $OC$. Постройте образ этого луча при повороте на угол $65^\circ$ по часовой стрелке вокруг:

1) точки $P$, принадлежащей лучу;

2) точки $N$, не принадлежащей лучу.

1) точки P, принадлежащей лучу

Для построения образа луча OC при повороте вокруг точки P, принадлежащей этому лучу, необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точки P.

Случай а: Центр поворота P совпадает с началом луча O (P = O).

1. Проведем луч OC. Центр поворота — точка O.

2. Поскольку центр поворота является началом луча, точка O при повороте остается на месте (ее образ O' совпадает с O).

3. Чтобы найти образ луча, достаточно повернуть его направление. С помощью транспортира отложим от луча OC угол, равный 65°, по часовой стрелке. Для этого можно взять любую точку C на луче, повернуть ее вокруг O на 65° по часовой стрелке и получить точку C'.

4. Проведем новый луч OC'. Этот луч и будет образом исходного луча OC. Угол $ \angle COC' $ будет равен 65°.

Случай б: Центр поворота P лежит на луче OC, но не совпадает с его началом O.

1. Проведем луч OC и отметим на нем точку P, отличную от O.

2. Чтобы построить образ луча OC, найдем образ его начальной точки O. Обозначим его O'.

3. Соединим точки P и O отрезком (этот отрезок является частью луча). С помощью транспортира построим угол $ \angle OPO' $, равный 65°, откладывая его от отрезка PO по часовой стрелке.

4. С помощью циркуля отмерим расстояние PO и отложим его на новой стороне угла от точки P. Получим точку O' так, что $ PO' = PO $.

5. Точка P, являясь центром поворота, остается неподвижной (P' = P).

6. Образом луча OC является луч, который начинается в образе начальной точки (O') и проходит через образ любой другой точки луча (например, P). Таким образом, искомый образ — это луч, исходящий из точки O' и проходящий через точку P.

Ответ: Если центр поворота P совпадает с началом луча O, образом является луч OC', образующий с исходным лучом угол 65° по часовой стрелке. Если P — точка на луче, отличная от O, то образом является луч, начинающийся в точке O' и проходящий через P, где O' — точка, полученная поворотом точки O вокруг P на 65° по часовой стрелке.

2) точки N, не принадлежащей лучу

Для построения образа луча OC при повороте вокруг точки N, не принадлежащей этому лучу, необходимо найти образы как минимум двух точек исходного луча. Возьмем начальную точку O и произвольную другую точку C на луче.

Порядок построения:

1. Построение образа O' точки O.

а. Соединим отрезком центр поворота N с точкой O.

б. С помощью транспортира отложим от отрезка NO по часовой стрелке угол $ \angle ONO' = 65° $.

в. С помощью циркуля измерим длину отрезка NO и отложим на новой стороне угла отрезок NO' такой же длины ($ NO' = NO $). Точка O' — искомый образ точки O.

2. Построение образа C' точки C.

а. Соединим отрезком центр поворота N с точкой C.

б. Аналогично предыдущему шагу, отложим от отрезка NC по часовой стрелке угол $ \angle CNC' = 65° $.

в. Отложим на новой стороне угла отрезок NC' равной длины ($ NC' = NC $). Точка C' — искомый образ точки C.

3. Построение искомого луча O'C'.

Проведем луч с началом в точке O' через точку C'. Этот луч O'C' и является образом луча OC при заданном повороте.

Ответ: Образом луча OC является луч O'C', где точки O' и C' являются образами точек O и C соответственно при повороте на 65° по часовой стрелке вокруг точки N.