Номер 281, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (3; -1).$

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (3; -1)$.

Уравнение исходной окружности: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$.
Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус. Таким образом, центр исходной окружности находится в точке $C(-1; 4)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 7$.
При симметрии окружности относительно некоторой точки её радиус не меняется, а центр отображается симметрично относительно этой точки. Пусть $C(x_C; y_C)$ — центр исходной окружности, $P(x_P; y_P)$ — точка, относительно которой производится симметрия, а $C'(x'_C; y'_C)$ — центр новой окружности. Точка $P$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты нового центра $C'$ можно найти по формулам середины отрезка:
$x'_C = 2x_P - x_C$
$y'_C = 2y_P - y_C$

1) начала координат;
В этом случае точка симметрии — это начало координат, то есть точка $P(0; 0)$. Центр исходной окружности — $C(-1; 4)$.
Найдём координаты нового центра $C'(x'_C; y'_C)$:
$x'_C = 2 \cdot 0 - (-1) = 1$
$y'_C = 2 \cdot 0 - 4 = -4$
Новый центр находится в точке $C'(1; -4)$.
Радиус остаётся неизменным, $R^2 = 7$.
Уравнение симметричной окружности:
$(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 7$
$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 7$
Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 7$.

2) точки М (3; –1).
В этом случае точка симметрии — это точка $M(3; -1)$. Центр исходной окружности — $C(-1; 4)$.
Найдём координаты нового центра $C'(x'_C; y'_C)$:
$x'_C = 2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$
$y'_C = 2 \cdot (-1) - 4 = -2 - 4 = -6$
Новый центр находится в точке $C'(7; -6)$.
Радиус остаётся неизменным, $R^2 = 7$.
Уравнение симметричной окружности:
$(x - 7)^2 + (y - (-6))^2 = 7$
$(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 7$
Ответ: $(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 7$.