Номер 283, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (4; -2)$.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M(4; -2)$.

1) начала координат

Две прямые, симметричные относительно точки, параллельны друг другу. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $3x + 2y = 4$, имеет вид $3x + 2y + C = 0$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной прямой $l: 3x + 2y = 4$ относительно начала координат $O(0; 0)$, можно использовать формулы преобразования координат при центральной симметрии.

Пусть точка $A'(x', y')$ принадлежит искомой прямой. Тогда точка $A(x, y)$, симметричная ей относительно начала координат, должна лежать на исходной прямой. Координаты симметричной точки $A$ выражаются через координаты $A'$ как $x = -x'$ и $y = -y'$.

Подставим эти выражения в уравнение исходной прямой $3x + 2y = 4$:
$3(-x') + 2(-y') = 4$
$-3x' - 2y' = 4$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить стандартный вид:
$3x' + 2y' = -4$

Заменив $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$, получим уравнение искомой прямой: $3x + 2y = -4$ или $3x + 2y + 4 = 0$.

Ответ: $3x + 2y + 4 = 0$.

2) точки М (4; -2)

Аналогично первому пункту, искомая прямая будет параллельна данной, и ее уравнение будет иметь вид $3x + 2y + C = 0$.

Пусть точка $A'(x', y')$ принадлежит искомой прямой. Точка $M(4; -2)$ является центром симметрии. Точка $A(x, y)$, симметричная $A'$ относительно $M$, должна лежать на исходной прямой $3x + 2y = 4$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $AA'$, то ее координаты равны полусуммам координат концов отрезка: $x_M = \frac{x + x'}{2} \implies 4 = \frac{x + x'}{2} \implies x = 8 - x'$
$y_M = \frac{y + y'}{2} \implies -2 = \frac{y + y'}{2} \implies y = -4 - y'$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной прямой $3x + 2y = 4$:
$3(8 - x') + 2(-4 - y') = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$24 - 3x' - 8 - 2y' = 4$
$16 - 3x' - 2y' = 4$
$-3x' - 2y' = 4 - 16$
$-3x' - 2y' = -12$

Умножим обе части уравнения на $-1$:
$3x' + 2y' = 12$

Заменив $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$, получаем уравнение искомой прямой: $3x + 2y = 12$ или $3x + 2y - 12 = 0$.

Ответ: $3x + 2y - 12 = 0$.