Номер 292, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Начертите острый угол и отметьте точку $M$, лежащую вне этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{4}$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $M$, лежащую вне этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{4}$.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $A$ плоскости сопоставляется точка $A'$ так, что $\vec{MA'} = k \cdot \vec{MA}$, где $M$ — фиксированная точка (центр гомотетии), а $k$ — заданное число (коэффициент гомотетии).

В данной задаче нам нужно построить угол, гомотетичный данному острому углу, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.

Построение

1. Начертим произвольный острый угол. Обозначим его вершину буквой $O$, а его стороны (лучи) — $a$ и $b$.
2. Отметим точку $M$, лежащую вне этого угла, как указано в условии.
3. На сторонах исходного угла выберем по одной произвольной точке (кроме вершины). Пусть это будут точка $A$ на стороне $a$ и точка $B$ на стороне $b$. Таким образом, мы будем работать с углом $∠AOB$.
4. Теперь найдем образы точек $O$, $A$ и $B$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.
   • Построение точки $O'$ (образа точки $O$): Проведем отрезок $MO$. Разделим этот отрезок на 4 равные части (например, с помощью теоремы Фалеса). Отметим на отрезке $MO$ точку $O'$ так, чтобы ее расстояние от $M$ составляло одну четверть длины отрезка $MO$. То есть, $MO' = \frac{1}{4} MO$.
   • Построение точки $A'$ (образа точки $A$): Проведем отрезок $MA$. Аналогично разделим его на 4 равные части и отметим на нем точку $A'$ так, чтобы $MA' = \frac{1}{4} MA$.
   • Построение точки $B'$ (образа точки $B$): Проведем отрезок $MB$. Разделим его на 4 равные части и отметим на нем точку $B'$ так, чтобы $MB' = \frac{1}{4} MB$.
5. Соединим полученные точки. Проведем луч с началом в точке $O'$, проходящий через точку $A'$. Это будет образ стороны $a$. Затем проведем луч с началом в точке $O'$, проходящий через точку $B'$. Это будет образ стороны $b$.
6. Полученный угол $∠A'O'B'$ и есть искомый угол, гомотетичный данному.

По свойству гомотетии, образ угла является углом, равным исходному. Стороны нового угла параллельны соответствующим сторонам исходного угла.

Ответ: Угол $∠A'O'B'$, построенный по описанному выше алгоритму, является гомотетичным данному углу $∠AOB$ с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.