Номер 296, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $C$ в точках $P, E, F$ и $K$ (рис. 81). $CP : PF = 4 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $PE$ является образом отрезка $FK$;

2) отрезок $FK$ является образом отрезка $PE$.

Рис. 81

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $C$ в точках $P$, $E$, $F$ и $K$ (рис. 81). $CP : PF = 4 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $PE$ является образом отрезка $FK$;

2) отрезок $FK$ является образом отрезка $PE$.

Рис. 81

По определению гомотетии (преобразования подобия), центр гомотетии — это точка, через которую проходят прямые, соединяющие соответствующие точки прообраза и образа. В данном случае прямые, соединяющие концы параллельных отрезков ($FP$ и $KE$), пересекаются в вершине угла — точке $C$. Следовательно, точка $C$ является центром гомотетии для обоих случаев.

Из условия задачи дано соотношение $CP : PF = 4 : 1$. Примем длину отрезка $PF$ за некую единицу $x$, тогда длина отрезка $CP$ будет равна $4x$. Длина всего отрезка $CF$ будет равна сумме длин его частей:

$CF = CP + PF = 4x + x = 5x$

В этом случае отрезок $FK$ является прообразом, а отрезок $PE$ — образом. Гомотетия с центром в точке $C$ переводит точку $F$ в точку $P$ и точку $K$ в точку $E$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Возьмем соответствующие точки $P$ (образ) и $F$ (прообраз). Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению длин отрезков $CP$ и $CF$:

$k = \frac{CP}{CF}$

Подставляя известные значения, получаем:

$k = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$

Так как точки $P$ и $F$ лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $C$, коэффициент $k$ положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка C, коэффициент $k = \frac{4}{5}$.

В этом случае отрезок $PE$ является прообразом, а отрезок $FK$ — образом. Гомотетия с центром в точке $C$ переводит точку $P$ в точку $F$ и точку $E$ в точку $K$. Коэффициент гомотетии $k'$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

Возьмем соответствующие точки $F$ (образ) и $P$ (прообраз). Коэффициент гомотетии $k'$ равен отношению длин отрезков $CF$ и $CP$:

$k' = \frac{CF}{CP}$

Подставляя известные значения, получаем:

$k' = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4}$

Так как точки $F$ и $P$ лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $C$, коэффициент $k'$ положителен.

Ответ: центр гомотетии — точка C, коэффициент $k = \frac{5}{4}$.