Номер 294, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии $k=3$.

294. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии $k=3$.

По определению гомотетии с центром в точке K и коэффициентом k, для любой точки N и ее образа M (точки, в которую переходит точка N) выполняется следующее векторное равенство:

$\vec{KM} = k \cdot \vec{KN}$

В условии задачи сказано, что точка M является образом точки N при гомотетии с центром K и коэффициентом $k=3$. Подставим значение коэффициента в формулу:

$\vec{KM} = 3 \cdot \vec{KN}$

Это векторное равенство означает следующее:

• Точки K, M и N лежат на одной прямой (коллинеарны).
• Так как коэффициент гомотетии $k = 3$ является положительным числом, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ направлены в одну и ту же сторону (сонаправлены). Это возможно только в том случае, если точка N лежит между точками K и M.
• Длина вектора $\vec{KM}$ в 3 раза больше длины вектора $\vec{KN}$. В виде длин отрезков это можно записать как $|KM| = 3 \cdot |KN|$.

Рассмотрим отрезки на прямой, на которой лежат точки K, N и M. Так как точка N находится между K и M, длина отрезка KM равна сумме длин отрезков KN и NM:

$|KM| = |KN| + |NM|$

Теперь воспользуемся соотношением, полученным из определения гомотетии, $|KM| = 3 \cdot |KN|$, и подставим его в предыдущее равенство:

$3 \cdot |KN| = |KN| + |NM|$

Вычтем $|KN|$ из обеих частей уравнения:

$2 \cdot |KN| = |NM|$

Отсюда находим длину отрезка KN:

$|KN| = \frac{1}{2} |NM|$

Таким образом, мы получили точное описание расположения точки K. Чтобы найти точку K, необходимо:

1. Провести прямую через данные точки M и N.
2. На этой прямой, на продолжении отрезка MN за точку N, отложить отрезок NK.
3. Длина отрезка NK должна быть равна половине длины отрезка NM.

Ответ: Точка K лежит на прямой MN на продолжении отрезка MN за точку N, причем расстояние от K до N равно половине расстояния от N до M ($|KN| = \frac{1}{2}|NM|$).