Номер 304, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 4 : 3$, а площадь треугольника $AKD$ равна $128$ см$^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 4 : 3$, а площадь треугольника $AKD$ равна $128 \text{ см}^2$.

Поскольку продолжения боковых сторон трапеции $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, образуются два треугольника: $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$.

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$.

1. $\angle K$ — общий для обоих треугольников.

2. $\angle KBC = \angle KAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AK$.

Следовательно, треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$ подобны по двум углам.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:$k = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи известно, что $AD : BC = 4 : 3$, значит, $\frac{AD}{BC} = \frac{4}{3}$, а коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}$.

Тогда отношение площадей треугольников равно:$\frac{S_{\triangle BKC}}{S_{\triangle AKD}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Нам дана площадь треугольника $AKD$: $S_{\triangle AKD} = 128 \text{ см}^2$.

Найдем площадь треугольника $BKC$:$S_{\triangle BKC} = S_{\triangle AKD} \cdot \frac{9}{16} = 128 \cdot \frac{9}{16} = 8 \cdot 9 = 72 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ ($S_{ABCD}$) можно найти как разность площадей треугольника $AKD$ и треугольника $BKC$:$S_{ABCD} = S_{\triangle AKD} - S_{\triangle BKC}$

$S_{ABCD} = 128 - 72 = 56 \text{ см}^2$.

Ответ: $56 \text{ см}^2$.