Номер 305, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Точка $N$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 4 : 3, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DN$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$, если площадь треугольника $CFN$ равна $27 \text{ см}^2$.

305. Точка $N$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 4 : 3, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DN$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$, если площадь треугольника $CFN$ равна $27 \text{ см}^2$.

1. Рассмотрим треугольники $AFD$ и $CFN$. Поскольку $ABCD$ является квадратом, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Так как точка $N$ лежит на стороне $BC$, то $AD \parallel NC$.

2. При пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle DAC = \angle BCN$. Значит, $\angle FAD = \angle FCN$.

3. При пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $DN$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle ADN = \angle BND$. Значит, $\angle ADF = \angle CNF$.

4. Таким образом, треугольник $AFD$ подобен треугольнику $CFN$ по двум углам ($\triangle AFD \sim \triangle CFN$).

5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{AFD}}{S_{CFN}} = k^2$

Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{AD}{CN}$

6. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $AD = BC = a$. Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 4:3$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $4+3=7$ частей. Длина отрезка $NC$ составляет 3 части из 7, то есть:

$NC = \frac{3}{7}BC = \frac{3}{7}a$

7. Теперь найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{AD}{NC} = \frac{a}{\frac{3}{7}a} = \frac{7}{3}$

8. Подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{AFD}}{S_{CFN}} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$

9. По условию, площадь треугольника $CFN$ равна 27 см$^2$ ($S_{CFN} = 27$ см$^2$). Найдем площадь треугольника $AFD$:

$S_{AFD} = \frac{49}{9} \cdot S_{CFN} = \frac{49}{9} \cdot 27 = 49 \cdot 3 = 147$ см$^2$.

Ответ: 147 см$^2$.