Номер 2, страница 106 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

1) Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 72-угольника.

2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный тре-угольник со стороной 6 см.

3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного мно-гоугольника, равен $4\sqrt{2}$ см, а сторона многоугольни-ка — 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $6\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$. Найдите длины дуг, на кото-рые делят окружность, описанную около треугольни-ка, его вершины.

6. Найдите диагональ $AD$ правильного восьмиугольника $ABCDEFKP$, если $AB = a$.

Контрольная работа № 2

Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 72-угольника.

2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 6 см.

3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $4\sqrt{2}$ см, а сторона многоугольника — 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $6\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$. Найдите длины дуг, на которые делят окружность, описанную около треугольника, его вершины.

6. Найдите диагональ $AD$ правильного восьмиугольника $ABCDEFGKP$, если $AB = a$.

1. Величина каждого внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для 72-угольника $n=72$.
Подставим значение n в формулу:
$\alpha = \frac{(72-2) \cdot 180^\circ}{72} = \frac{70 \cdot 180^\circ}{72} = 70 \cdot \frac{180}{72} = 70 \cdot 2.5 = 175^\circ$.
Ответ: $175^\circ$.

2. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. В данном случае круг вписан в правильный (равносторонний) треугольник, поэтому его радиус $r$ равен радиусу вписанной окружности.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Сторона треугольника $a = 6$ см.
Найдем радиус: $r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.
Теперь найдем площадь круга: $S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см².
Ответ: $3\pi$ см².

3. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность ($a_6$), равна радиусу этой окружности ($R$).
По условию, $a_6 = 4$ см, следовательно, радиус окружности $R = 4$ см.
Квадрат описан около этой же окружности. Сторона квадрата, описанного около окружности ($a_4'$), равна диаметру этой окружности ($D$).
Диаметр $D = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Следовательно, сторона квадрата равна 8 см.
Ответ: 8 см.

4. Дано: радиус описанной окружности $R = 4\sqrt{2}$ см, сторона многоугольника $a_n = 8$ см.
1) Радиус вписанной окружности $r$, радиус описанной окружности $R$ и половина стороны многоугольника $a_n/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{a_n}{2})^2$.
$r^2 = R^2 - (\frac{a_n}{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 - (\frac{8}{2})^2 = (16 \cdot 2) - 4^2 = 32 - 16 = 16$.
$r = \sqrt{16} = 4$ см.
2) Для нахождения количества сторон $n$ используем формулу, связывающую сторону правильного многоугольника и радиус описанной окружности: $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$8 = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$8 = 8\sqrt{2} \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда следует, что $\frac{180^\circ}{n} = 45^\circ$.
$n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4$.
Ответ: 1) 4 см; 2) 4.

5. Сначала найдем третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Третий угол = $180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь у нас есть треугольник со стороной $6\sqrt{3}$ см и противолежащим углом $60^\circ$.
Найдем радиус $R$ описанной окружности по теореме синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
$2R = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$ см.
Радиус $R = 6$ см.
Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, стягиваемой хордой (стороной треугольника), равна удвоенной величине противолежащего вписанного угла.
Дуга 1 (напротив угла $50^\circ$): $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
Дуга 2 (напротив угла $70^\circ$): $2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.
Дуга 3 (напротив угла $60^\circ$): $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Длина дуги вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.
$L_1 = \frac{100}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{10}{36} \cdot 12\pi = \frac{10}{3}\pi$ см.
$L_2 = \frac{140}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{14}{36} \cdot 12\pi = \frac{14}{3}\pi$ см.
$L_3 = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$ см.
Ответ: $\frac{10\pi}{3}$ см, $\frac{14\pi}{3}$ см, $4\pi$ см.

6. Рассмотрим правильный восьмиугольник $ABCDEFKP$, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Диагональ $AD$ соединяет вершины $A$ и $D$.
Рассмотрим треугольник $OAD$. $OA = OD = R$. Угол $\angle AOD$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AD$. Эта дуга стягивает три стороны восьмиугольника ($AB, BC, CD$).
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Следовательно, $\angle AOD = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $OAD$:
$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \cdot OA \cdot OD \cdot \cos(\angle AOD) = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$AD^2 = 2R^2 - 2R^2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2R^2 + R^2\sqrt{2} = R^2(2+\sqrt{2})$.
Теперь выразим $R$ через сторону $a$. В треугольнике $OAB$, $OA=OB=R$, $AB=a$, $\angle AOB = 45^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $OAB$:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(45^\circ) = 2R^2 - 2R^2(\frac{\sqrt{2}}{2}) = R^2(2-\sqrt{2})$.
Отсюда $R^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}}$.
Подставим это выражение в формулу для $AD^2$:
$AD^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}} \cdot (2+\sqrt{2}) = a^2 \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2+\sqrt{2})$:
$AD^2 = a^2 \frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = a^2 \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2} = \frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{2}$.
Извлечем квадратный корень:
$AD = \sqrt{\frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{2}} = \frac{a(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = a(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = a(\sqrt{2} + 1)$.
Ответ: $a(\sqrt{2} + 1)$.