Номер 4, страница 107 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки $M(-2; -4)$, $P(4; 4)$, $K(-1; 3)$. Найдите:

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте вектор:

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

3. Даны векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $CM : MD = 2 : 5$, $AK : KD = 1 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки M (-2; -4), P (4; 4), K (-1; 3). Найдите:

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

3. Даны векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что $CM : MD = 2 : 5$, $AK : KD = 1 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Координаты вектора, идущего из точки A$(x_1; y_1)$ в точку B$(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$. Даны точки $M(-2; -4)$, $P(4; 4)$, $K(-1; 3)$. Для вектора $\vec{MK}$ (начало в M, конец в K): $\vec{MK} = \{-1 - (-2); 3 - (-4)\} = \{-1 + 2; 3 + 4\} = \{1; 7\}$. Для вектора $\vec{PM}$ (начало в P, конец в M): $\vec{PM} = \{-2 - 4; -4 - 4\} = \{-6; -8\}$.

Ответ: $\vec{MK}\{1; 7\}$, $\vec{PM}\{-6; -8\}$.

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Модуль (длина) вектора $\vec{v}\{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Используя координаты, найденные в предыдущем пункте: $|\vec{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $|\vec{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $|\vec{MK}| = 5\sqrt{2}$, $|\vec{PM}| = 10$.

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

Чтобы найти координаты вектора $\vec{EF}$, выполним операции с векторами $\vec{MK}\{1; 7\}$ и $\vec{PM}\{-6; -8\}$: $2\vec{MK} = \{2 \cdot 1; 2 \cdot 7\} = \{2; 14\}$. $3\vec{PM} = \{3 \cdot (-6); 3 \cdot (-8)\} = \{-18; -24\}$. $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM} = \{2; 14\} - \{-18; -24\} = \{2 - (-18); 14 - (-24)\} = \{20; 38\}$.

Ответ: $\vec{EF}\{20; 38\}$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. $\vec{MK} \cdot \vec{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$.

Ответ: -62.

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Используем результаты из пунктов 2 и 4: $\cos \alpha = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{PM}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}}$. Упростим выражение: $\frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = \frac{-31\sqrt{2}}{25 \cdot 2} = -\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого к концу второго. $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: Вектор $\vec{BC}$.

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$, если они отложены от одной точки. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ отложены от точки C. Следовательно, $\vec{CA} - \vec{CB}$ — это вектор, идущий от точки B к точке A, то есть $\vec{BA}$. Альтернативно: $\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{CA} + (-\vec{CB}) = \vec{CA} + \vec{BC} = \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$.

Ответ: Вектор $\vec{BA}$.

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

Для сложения векторов, выходящих из одной точки (B), используется правило параллелограмма. Нужно достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC (где D - четвертая вершина). Суммой векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ будет диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки B. Это вектор $\vec{BD}$.

Ответ: Вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ как на сторонах, и выходящий из их общего начала.

1) коллинеарны;

Два вектора $\vec{m}\{p; 4\}$ и $\vec{n}\{20; -10\}$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{p}{20} = \frac{4}{-10}$. Решим пропорцию: $p = 20 \cdot \frac{4}{-10} = 20 \cdot (-\frac{2}{5}) = -8$.

Ответ: при $p = -8$.

2) перпендикулярны?

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. $p \cdot 20 + 4 \cdot (-10) = 0$. $20p - 40 = 0$. $20p = 40$. $p = 2$.

Ответ: при $p = 2$.

4. На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что CM : MD = 2 : 5, AK : KD = 1 : 2. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{MK}$ по правилу ломаной линии, например: $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DA} + \vec{AK}$. 1. Точка M лежит на стороне CD, причём $CM : MD = 2 : 5$. Это значит, что $\vec{MD} = \frac{5}{2+5}\vec{CD} = \frac{5}{7}\vec{CD}$. В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Таким образом, $\vec{MD} = -\frac{5}{7}\vec{a}$. 2. Вектор $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$. 3. Точка K лежит на стороне AD, причём $AK : KD = 1 : 2$. Это значит, что $\vec{AK} = \frac{1}{1+2}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b}$. Соберем все вместе: $\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} + (-\frac{3}{3} + \frac{1}{3})\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Из условий задачи: - $\vec{k} \perp \vec{p} \implies \vec{k} \cdot \vec{p} = 0$. - $|\vec{k}| = 1 \implies \vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1$. - $|\vec{p}| = 1 \implies \vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1$. 1. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} - \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 3\vec{p}) = 3(\vec{k} \cdot \vec{k}) - 9(\vec{k} \cdot \vec{p}) - (\vec{p} \cdot \vec{k}) + 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) = 3|\vec{k}|^2 - 10(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 3|\vec{p}|^2$. Подставляем известные значения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) - 10(0) + 3(1) = 6$. 2. Найдем модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{k} - \vec{p})^2 = 9|\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + (1)^2 = 10 \implies |\vec{a}| = \sqrt{10}$. $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{k} - 3\vec{p})^2 = |\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 9|\vec{p}|^2 = (1)^2 - 6(0) + 9(1)^2 = 10 \implies |\vec{b}| = \sqrt{10}$. 3. Вычислим косинус угла: $\cos \alpha = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: 0.6.