Страница 11 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.40. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно $a$, а высота, проведенная к боковой стороне, — $h$.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$, а боковые стороны $AB = BC = b$. Пусть $h$ — это высота, проведенная из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Обозначим точку пересечения высоты со стороной $BC$ как $H$. Таким образом, $AH = h$ и $AH \perp BC$. Площадь треугольника обозначим как $S$.

Для нахождения площади воспользуемся тригонометрическим методом. Обозначим угол при основании треугольника $\angle BCA = \gamma$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. Так как $AH$ — высота к прямой $BC$, то $\angle AHC = 90^\circ$. В этом треугольнике сторона $AC$ является гипотенузой, а $AH$ — катетом, противолежащим углу $\gamma$. Из определения синуса угла в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\gamma) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{h}{a}$

2. Зная синус угла $\gamma$, найдем его косинус. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$ следует, что $\cos(\gamma) = \sqrt{1 - \sin^2(\gamma)}$. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании острые, $\cos(\gamma)$ будет положительным.
$\cos(\gamma) = \sqrt{1 - \left(\frac{h}{a}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2 - h^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^2 - h^2}}{a}$
Для существования такого треугольника необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным, то есть $a^2 - h^2 > 0$, что означает $a > h$.

3. Теперь найдем длину боковой стороны $b$. Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для стороны $AB$ (противолежащей углу $\gamma$):
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\gamma)$
Подставим наши обозначения:
$b^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$
Упростим выражение:
$0 = a^2 - 2ab \cos(\gamma)$
$2ab \cos(\gamma) = a^2$
Выразим отсюда $b$ (считая, что $a \neq 0$):
$b = \frac{a}{2\cos(\gamma)}$

4. Подставим найденное выражение для $\cos(\gamma)$:
$b = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 - h^2}}{a}} = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2 - h^2}}$

5. Наконец, найдем площадь треугольника $S$. Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Возьмем боковую сторону $BC$ и высоту $AH$, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} b h$
Подставим выражение для $b$ в формулу площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a^2}{2\sqrt{a^2 - h^2}}\right) \cdot h = \frac{a^2h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$

Ответ: $S = \frac{a^2h}{4\sqrt{a^2 - h^2}}$