Страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Какие из векторов с началом и концом в вершинах параллелограмма и точке $O$:

1) лежат на прямой $BD$;

2) параллельны прямой $AD$;

3) коллинеарны вектору $\vec{AB}$;

4) равны вектору $\vec{CB}$;

5) равны вектору $\vec{OC}$?

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны ($AB \parallel DC$, $AD \parallel BC$) и равны по длине ($AB = DC$, $AD = BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO=OC$, $BO=OD$).

Визуализируем параллелограмм:

1) лежат на прямой $BD$

Вектор лежит на прямой, если его начало и конец принадлежат этой прямой. Прямой $BD$ принадлежат точки $B$, $D$ и точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, искомые векторы — это все ненулевые векторы, которые можно составить из точек $B$, $O$ и $D$.

Ответ: $\vec{BD}$, $\vec{DB}$, $\vec{BO}$, $\vec{OB}$, $\vec{DO}$, $\vec{OD}$.

2) параллельны прямой $AD$

Вектор параллелен прямой, если он лежит на этой прямой или на прямой, параллельной данной. В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$). Значит, нам подходят векторы, лежащие на прямых $AD$ и $BC$.

Ответ: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.

3) коллинеарны вектору $\vec{AB}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Вектор $\vec{AB}$ лежит на прямой $AB$. В параллелограмме $ABCD$ прямая $DC$ параллельна прямой $AB$ ($DC \parallel AB$). Следовательно, искомые векторы должны лежать на прямых $AB$ или $DC$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DC}$, $\vec{CD}$.

4) равны вектору $\vec{CB}$

Равные векторы должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и иметь равные длины (модули). Вектор $\vec{CB}$ направлен от точки $C$ к точке $B$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть $AD = BC$ и $AD \parallel BC$. Вектор $\vec{DA}$ направлен от $D$ к $A$. Его направление совпадает с направлением вектора $\vec{CB}$, а его длина $|\vec{DA}| = AD = BC = |\vec{CB}|$. Таким образом, эти векторы равны.

Ответ: $\vec{DA}$.

5) равны вектору $\vec{OC}$

Равные векторы должны быть сонаправлены и иметь равные длины. Вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к точке $C$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $O$ является серединой диагонали $AC$. Это означает, что $AO = OC$. Вектор $\vec{AO}$ направлен от $A$ к $O$. Так как точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, то векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Их длины также равны: $|\vec{AO}| = AO = OC = |\vec{OC}|$. Следовательно, векторы равны.

Ответ: $\vec{AO}$.

1.2. Известно, что точка B лежит между точками A и C.

Найдите среди векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Поскольку точка B лежит между точками A и C, все три точки располагаются на одной прямой в последовательности A, B, C. Визуализируем это расположение:

Проанализируем направления заданных векторов:

• Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки A к точке B.
• Вектор $\vec{AC}$ направлен от точки A к точке C.
• Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки B к точке A.
• Вектор $\vec{BC}$ направлен от точки B к точке C.

Пары сонаправленных векторов

Сонаправленные векторы (коллинеарные и одинаково направленные) — это векторы, которые лежат на одной прямой и направлены в одну и ту же сторону. В данном случае векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ направлены в одну сторону (слева направо на нашем рисунке). Вектор $\vec{BA}$ направлен в противоположную сторону.

Таким образом, можно составить следующие пары сонаправленных векторов (обозначаются символом $\uparrow\uparrow$):

• Пара $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, так как оба начинаются в точке A или раньше точки C и направлены в сторону C. Запись: $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{AC}$.
• Пара $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, так как оба направлены в одну сторону вдоль прямой. Запись: $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{BC}$.
• Пара $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$, так как оба направлены в одну сторону вдоль прямой. Запись: $\vec{AC} \uparrow\uparrow \vec{BC}$.

Ответ: ($\vec{AB}$, $\vec{AC}$), ($\vec{AB}$, $\vec{BC}$), ($\vec{AC}$, $\vec{BC}$).

Пары противоположно направленных векторов

Противоположно направленные векторы (коллинеарные и противоположно направленные) — это векторы, которые лежат на одной прямой, но направлены в разные стороны. Вектор $\vec{BA}$ направлен в сторону, противоположную направлению векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$.

Таким образом, можно составить следующие пары противоположно направленных векторов (обозначаются символом $\uparrow\downarrow$):

• Пара $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$. Эти векторы по определению противоположны: $\vec{AB} = - \vec{BA}$. Запись: $\vec{AB} \uparrow\downarrow \vec{BA}$.
• Пара $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$. Направлены в разные стороны вдоль прямой. Запись: $\vec{AC} \uparrow\downarrow \vec{BA}$.
• Пара $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$. Направлены в разные стороны вдоль прямой. Запись: $\vec{BC} \uparrow\downarrow \vec{BA}$.

Ответ: ($\vec{AB}$, $\vec{BA}$), ($\vec{AC}$, $\vec{BA}$), ($\vec{BC}$, $\vec{BA}$).

1.3. Среди векторов, определенных сторонами прямоугольника $ABCD$, найдите:
1) коллинеарные;
2) перпендикулярные;
3) равные между собой векторы.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Векторы, определенные его сторонами, это векторы, начало и конец которых совпадают с вершинами прямоугольника и которые лежат на его сторонах. Такими векторами являются $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$, $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$.

1) коллинеарные

Коллинеарными называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах, будут коллинеарны. Также коллинеарны векторы, лежащие на одной прямой, например $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$.

Таким образом, можно выделить две группы взаимно коллинеарных векторов:

• Группа 1 (лежащие на сторонах $AB$ и $CD$): $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{CD}$, $\vec{DC}$.

• Группа 2 (лежащие на сторонах $BC$ и $AD$): $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{AD}$, $\vec{DA}$.

Ответ: Коллинеарными являются любые два вектора, взятые из группы $\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$, а также любые два вектора, взятые из группы $\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$.

2) перпендикулярные

Перпендикулярными называются векторы, угол между которыми составляет $90^\circ$. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны друг другу ($AB \perp BC$, $BC \perp CD$, и т.д.).

Это означает, что любой вектор из первой группы коллинеарных векторов ($\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$) будет перпендикулярен любому вектору из второй группы коллинеарных векторов ($\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$).

Ответ: Любой вектор из набора $\{\vec{AB}, \vec{BA}, \vec{CD}, \vec{DC}\}$ перпендикулярен любому вектору из набора $\{\vec{BC}, \vec{CB}, \vec{AD}, \vec{DA}\}$.

3) равные между собой векторы

Равными называются векторы, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, что является основой для нахождения равных векторов.

1. Векторы на сторонах $AB$ и $CD$. Так как $AB \parallel CD$ и $|AB|=|CD|$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по длине. Аналогично, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены и равны по длине. Таким образом, получаем две пары равных векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BA} = \vec{CD}$.

2. Векторы на сторонах $BC$ и $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $|BC|=|AD|$, то векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены и равны по длине. Аналогично, векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ сонаправлены и равны по длине. Таким образом, получаем еще две пары равных векторов: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CB} = \vec{DA}$.

Ответ: Пары равных векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$; $\vec{BA} = \vec{CD}$; $\vec{BC} = \vec{AD}$; $\vec{CB} = \vec{DA}$.

1.4. Что можно сказать о точках A, B и C, если выполняется равенство:

1) $\vec{AB} = \vec{0}$;

2) $\vec{AB} = \vec{BA}$;

3) $\vec{AC} = \vec{BC}$;

4) $\vec{CA} = \vec{CB}$?

1) Равенство $\vec{AB} = \vec{0}$ означает, что вектор $\vec{AB}$ является нулевым вектором. Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Поскольку у вектора $\vec{AB}$ начало в точке A, а конец в точке B, из этого равенства следует, что точки A и B совпадают. Равенство не содержит никакой информации о точке C, следовательно, ее положение может быть произвольным.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

2) Вектор $\vec{BA}$ является противоположным вектору $\vec{AB}$. Это означает, что он имеет ту же длину, но противоположное направление. Алгебраически это записывается как $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Подставим это в исходное равенство $\vec{AB} = \vec{BA}$:
$\vec{AB} = -\vec{AB}$
Перенеся слагаемое в левую часть, получим:
$\vec{AB} + \vec{AB} = \vec{0}$
$2\vec{AB} = \vec{0}$
Разделив на 2, получаем $\vec{AB} = \vec{0}$. Как и в первом случае, это означает, что точки A и B совпадают. Положение точки C не ограничено.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

3) Рассмотрим равенство $\vec{AC} = \vec{BC}$. Преобразуем его, перенеся вектор $\vec{BC}$ в левую часть уравнения:
$\vec{AC} - \vec{BC} = \vec{0}$
Поскольку замена вектора на противоположный равносильна изменению его знака, имеем $-\vec{BC} = \vec{CB}$. Подставим это в уравнение:
$\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{0}$
Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника или тождество Шаля), сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ дает вектор $\vec{AB}$. Таким образом, равенство принимает вид:
$\vec{AB} = \vec{0}$
Это означает, что точки A и B совпадают. При этом исходное равенство $\vec{AC} = \vec{BC}$ становится тождеством (так как если A и B — одна и та же точка, то $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$ — один и тот же вектор), верным для любого положения точки C.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

4) Равенство $\vec{CA} = \vec{CB}$ означает, что два вектора, имеющие общее начало в точке C, равны. Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Если векторы с общим началом равны, то их концы должны совпадать. В данном случае концами векторов являются точки A и B. Следовательно, точки A и B совпадают.
Это можно также показать алгебраически. Выразим векторы через радиус-векторы точек A, B и C ($\vec{r_A}, \vec{r_B}, \vec{r_C}$) относительно некоторого начала O:
$\vec{CA} = \vec{r_A} - \vec{r_C}$
$\vec{CB} = \vec{r_B} - \vec{r_C}$
Из равенства $\vec{CA} = \vec{CB}$ следует $\vec{r_A} - \vec{r_C} = \vec{r_B} - \vec{r_C}$. Прибавив к обеим частям $\vec{r_C}$, получаем $\vec{r_A} = \vec{r_B}$, что означает совпадение точек A и B. Точка C может быть любой.
Ответ: Точки A и B совпадают, точка C — произвольная.

1.5. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD$. Докажите равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является медианой. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $BC$. Необходимо доказать векторное равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$.

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям: они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Проверим выполнение этих двух условий для векторов $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$.

1. Направление векторов.
Поскольку $AD$ — медиана, точка $D$ лежит на стороне $BC$ и является её серединой. Это означает, что точки $B$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой, причём точка $D$ находится между точками $B$ и $C$. Вектор $\vec{BD}$ имеет направление от точки $B$ к точке $D$. Вектор $\vec{DC}$ имеет направление от точки $D$ к точке $C$. Так как обе точки $D$ и $C$ лежат на прямой "вперед" от точки $B$, оба вектора направлены в одну и ту же сторону вдоль прямой $BC$. Следовательно, векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены.

2. Длины (модули) векторов.
Длина (модуль) вектора $\vec{BD}$ равна длине отрезка $BD$, что записывается как $|\vec{BD}| = BD$. Аналогично, длина вектора $\vec{DC}$ равна длине отрезка $DC$, то есть $|\vec{DC}| = DC$.По определению медианы, точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Середина отрезка делит его на два равных по длине отрезка, поэтому $BD = DC$.Из этого следует, что модули векторов равны: $|\vec{BD}| = |\vec{DC}|$.

Поскольку векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их модули равны, по определению равных векторов мы заключаем, что $\vec{BD} = \vec{DC}$.

Ответ: Равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$ доказано.

1.6. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите длины векторов $\vec{BC}, \vec{CD}, \vec{AC}, \vec{AO}, \vec{CO}, \vec{DO}$, если $AB = 6 \text{ см}$, $AD = 8 \text{ см}$.

Дано: $ABCD$ – прямоугольник, в котором диагонали пересекаются в точке $O$. Длины сторон $AB = 6$ см и $AD = 8$ см.

Длина вектора – это длина отрезка, который он представляет. Для решения задачи используем свойства прямоугольника: противолежащие стороны равны ($AB=CD$, $BC=AD$), все углы прямые, диагонали равны ($AC=BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC=BO=OD$).

Длина вектора $\vec{BC}$
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, следовательно, $BC = AD$. По условию $AD = 8$ см.
Ответ: $|\vec{BC}| = 8$ см.

Длина вектора $\vec{CD}$
Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине стороны $CD$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = AB$. По условию $AB = 6$ см.
Ответ: $|\vec{CD}| = 6$ см.

Длина вектора $\vec{AC}$
Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle D = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$AC^2 = AD^2 + CD^2$$AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$AC = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: $|\vec{AC}| = 10$ см.

Длина вектора $\vec{AO}$
В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{AO}| = 5$ см.

Длина вектора $\vec{CO}$
Так как точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то $CO = AO$.$CO = 5$ см.
Ответ: $|\vec{CO}| = 5$ см.

Длина вектора $\vec{DO}$
В прямоугольнике диагонали равны ($AC = BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $DO = \frac{1}{2} BD$.Так как $BD = AC = 10$ см, то $DO = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{DO}| = 5$ см.

1.7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основание опущена высота $AD$. Укажите пары векторов:

1) модули которых равны;

2) которые равны между собой;

3) которые взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором, согласно условию, боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, а основанием — $BC$. Высота $AD$ опущена на основание $BC$.Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника:

1. Боковые стороны равны по длине: $AB = AC$.
2. Высота, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка: $BD = DC$.
3. По определению, высота $AD$ перпендикулярна основанию $BC$: $AD \perp BC$.

На основе этих свойств найдем искомые пары векторов.

1) модули которых равны;

Модуль вектора (или его длина) — это длина отрезка, который он представляет. Мы ищем пары векторов, длины которых одинаковы.
- Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AB = AC$), то и модули соответствующих векторов будут равны: $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$. Также равны модули их противоположных векторов $|\vec{BA}| = |\vec{CA}|$.
- Так как высота $AD$ является и медианой, она делит основание $BC$ пополам ($BD = DC$). Следовательно, модули векторов, лежащих на этих отрезках, равны. Например, $|\vec{BD}| = |\vec{DC}|$. Также можно составить пары из противоположных векторов, например, $|\vec{BD}| = |\vec{CD}|$ или $|\vec{DB}| = |\vec{DC}|$.
Ответ: Парами векторов с равными модулями являются, например, ($\vec{AB}$, $\vec{AC}$) и ($\vec{BD}$, $\vec{CD}$).

2) которые равны между собой;

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и их модули равны.
- Рассмотрим векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$. Точка $D$ — середина отрезка $BC$. Вектор $\vec{BD}$ начинается в точке $B$ и заканчивается в точке $D$. Вектор $\vec{DC}$ начинается в точке $D$ и заканчивается в точке $C$. Оба вектора лежат на одной прямой $BC$, направлены в одну сторону (от $B$ к $C$) и их длины равны ($BD = DC$). Следовательно, эти векторы равны.
- Других пар равных векторов, образованных точками $A, B, C, D$, нет, так как отсутствуют другие параллельные и равные по длине направленные отрезки.
Ответ: $\vec{BD} = \vec{DC}$.

3) которые взаимно перпендикулярны.

Взаимно перпендикулярные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
- Из условия задачи известно, что $AD$ — высота, опущенная на основание $BC$. По определению высоты, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$.
- Это означает, что любой вектор, лежащий на прямой $AD$ (т.е. $\vec{AD}$ или $\vec{DA}$), будет перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой $BC$ (т.е. $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{BD}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$ или $\vec{CD}$).
Ответ: Парами взаимно перпендикулярных векторов являются, например, ($\vec{AD}$, $\vec{BC}$), ($\vec{AD}$, $\vec{BD}$) или ($\vec{DA}$, $\vec{DC}$).